Junktoren
Junktoren verbinden mathematische Aussagen. In der Mathematik werden vor allem die folgenden fünf Junktoren verwendet:
Junktor | Name | Ausdruck | Lesart |
¬ | Negation | ¬ A | nicht A, non A |
∧ | Konjunktion | A ∧ B | A und B |
∨ | Disjunktion | A ∨ B | A oder B |
→ | Implikation | A → B | A impliziert B aus A folgt B wenn A so B A ist hinreichend für B B ist notwendig für A A zieht B nach sich |
↔ | Äquivalenz | A ↔ B | A genau dann, wenn B A ist äquivalent zu B |
Die Negation ist einstellig. Sie wirkt auf eine Aussage A und liefert ihre Verneinung ¬ A. Die vier anderen Junktoren sind zweistellig.
Die Disjunktion wird in der Mathematik im nicht ausschließlichen Sinn verwendet, sodass A ∨ B bedeutet: „A oder B (oder beide)“. Ein „exklusives oder“ (Kontravalenz) können wir so einführen:
A ⩒ B wird definiert als (A ∨ B) ∧ ¬ (A ∧ B)[ gelesen: „entweder A oder B“ ]
In dieser Weise lassen sich viele neue Junktoren mit Hilfe der alten einführen.
Wenden wir Junktoren mehrfach an, so setzen wir Klammern, um deutlich zu machen, auf welche Aussagen sich die Junktoren beziehen. Zum Beispiel ist
(A ∧ B) ∨ C zu unterschieden von A ∧ (B ∨ C)
Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir:
Bindungsstärke der Junktoren
¬, ∧, ∨, →, ↔ (von stark bindend nach schwach bindend geordnet)
Beispiele
(1) | A ∧ B ↔ ¬ C ∨ D ist die Aussage (A ∧ B) ↔ ((¬C) ∨ D) |
(2) | A ∧ B ∨ (C → D ↔ E) ist die Aussage (A ∧ B) ∨ ((C → D) ↔ E) |
Wir können uns die Junktoren als Magnete verschiedener Stärke vorstellen, um uns die Struktur von Aussagen zu veranschaulichen. Die Negation ist der stärkste Magnet, die Äquivalenz der schwächste.