Quantoren
Um gehaltvolle mathematische Aussagen bilden zu können, brauchen wir neben den Junktoren noch Quantoren und zugehörige Variablen. Die beiden wichtigsten Quantoren der Mathematik sind:
Zeichen | Name | Ausdruck | Lesart |
∀ | Allquantor | ∀x A(x) | für alle/jedes x gilt A(x) |
∃ | Existenzquantor | ∃x A(x) | es gibt/existiert (mindestens) ein x mit A(x) |
So wie A ∨ B „mindestens eines“ bedeutet, so bedeutet ∃x A(x), dass es mindestens ein x gibt mit der Eigenschaft A(x).
Um Klammern zu sparen, vereinbaren wir, dass der Wirkungsbereich eines Quantors ist so kurz wie möglich ist. Damit ist ∀x A(x) zu lesen als (∀x A(x)). In ∀x(A(x) → B(x)) wirkt der Allquantor auf A(x) → B(x). Analoges gilt für ∃.
Manchmal ist auch der eindeutige Existenzquantor ∃! nützlich:
∃!x A(x) es gibt/existiert genau ein x mit A(x)
Wir können ihn mit Hilfe der beiden anderen Quantoren einführen:
∃!x A(x) wird definiert durch ∃x ∀y (A(y) ↔ x = y)
Äquivalent ist: ∃x A(x) ∧ ∀x, y (A(x) ∧ A(y) → x = y).
Beispiele
In den Beispielen (1) − (3) beziehen sich die Quantoren auf natürliche Zahlen, in den Beispielen (4) − (6) auf reelle Zahlen.
(1) | „n ist eine gerade Zahl“: ∃k 2k = n |
(2) | „p ist eine Primzahl“ (oder kurz: „p ist prim“): p ≥ 2 ∧ ∀n,m (n · m = p → n = 1 ∨ m = 1)[ mit „∀n,m“ = „∀n ∀m“ ] |
(3) | „Es gibt unendlich viele Primzahlen: ∀n ∃p (p ≥ n ∧ „p ist prim“)[ mit „p ist prim“ wie in (2)] |
(4) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ besitzt eine Nullstelle“: ∃x f (x) = 0 |
(5) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ besitzt ein globales Maximum“: ∃x0 ∀x f (x0) ≥ f (x) |
(6) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ besitzt bei x0 ein lokales Maximum“: ∃ε > 0 ∀x (|x − x0| < ε → f (x0) ≥ f (x)) |