Quantorenregeln

Wir stellen einige Regeln für Quantoren zusammen. Aufgrund des vereinbarten minimalen Wirkungsbereichs binden Quantoren stets stärker als Junktoren: ∀xA(x) ∧ B(x) ist (∀xA(x)) ∧ B(x) und zu unterscheiden von ∀x (A(x) ∧ B(x)).

Verneinungsregeln

∀x A(x) ↔ ¬ ∃x ¬ A(x), ∃x A(x) ↔ ¬ ∀x ¬ A(x)

¬ ∀x A(x) ↔ ∃x ¬ A(x), ¬ ∃x A(x) ↔ ∀x ¬ A(x)

¬ ∀x ∃y A(x, y) ↔ ∃x ∀y ¬ A(x, y), ¬ ∃x ∀y A(x, y) ↔ ∀x ∃y ¬ A(x, y)

Vertauschungsregeln

∀x ∀y A(x, y) ↔ ∀y ∀x A(x, y)[ wir schreiben kurz ∀x, y A(x, y) ]

∃x ∃y A(x, y) ↔ ∃y ∃x A(x, y)[ wir schreiben kurz ∃x,y A(x, y) ]

∃x ∀y A(x, y) → ∀y ∃x A(x, y)

Regeln für die Konjunktion und Disjunktion

∀x (A(x) ∧ B(x)) ↔ ∀x A(x) ∧ ∀x B(x)

∃x (A(x) ∨ B(x)) ↔ ∃x A(x) ∨ ∃x B(x)

∀x A(x) ∨ ∀x B(x) → ∀x (A(x) ∨ B(x))

∃x (A(x) ∧ B(x)) → ∃x A(x) ∧ ∃x B(x)

Regeln für die Implikation

∀x (A(x) → B(x)) → ∀x A(x) → ∀x B(x)

∃x (A(x) → B(x)) ↔ ∀x A(x) → ∃x B(x)

Umgangssprachliche Beispiele können diese Regeln verdeutlichen. Für die dritte Vertauschungsregel betrachten wir etwa: „Es gibt einen, der jede Aufgabe lösen kann.“ und „Für jede Aufgabe gibt es einen, der diese Aufgabe lösen kann“. Die erste Aussage ist stärker als die zweite.

Die Verneinungsregeln lassen sich so beschreiben: Wir können eine Negation über eine Gruppe von Quantoren ziehen, müssen dabei aber alle All- und Existenzquantoren gegeneinander austauschen.

Quantoren stehen vor der Aussage, auf die sie sich beziehen. Um der Umgangssprache gerecht zu werden, vereinbaren wir, dass Allquantoren für einfache Aussagen auch nach der Aussage in der Form „für alle“ stehen dürfen, etwa in „Es gilt x + 1 > x für alle x  ∈  ℝ.“ Korrekter ist „Für alle x  ∈  ℝ gilt x + 1 > x“ oder „∀x  ∈  ℝ x + 1 > x“. Doppelpunkte der Form „∀x:“ sind nicht nötig. Zur Verdeutlichung des Wirkungsbereichs können wir Klammern setzen.