Mengenoperationen
Definition (Mengenoperationen)
Seien A, B Mengen. Dann setzen wir:
A ∩ B = { a | a ∈ A und a ∈ B}(Durchschnitt)
A ∪ B = { a | a ∈ A oder a ∈ B}(Vereinigung)
A − B = A \ B = { a | a ∈ A und a ∉ B}(Differenz)
Ac = M − A für eine feste Grundmenge M ⊇ A (relatives Komplement)
A Δ B = (A − B) ∪ (B − A)(symmetrische Differenz)
Beispiele
Seien A = { 1, 2, 3 }, B = { 2, 4, 6 }, M = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Dann gilt
A ∩ B = { 2 }, A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 6 } = M − { 5 }, Ac = { 4, 5, 6 } (bzgl. M)
Die Operationen können wir durch Venn-Diagramme veranschaulichen. Wir zeichnen A und B als sich überlappende Kreise oder andere geometrische Formen und markieren das Ergebnis der Operation. Für den Durchschnitt ergibt sich beispielsweise der Überlappungsbereich zweier Kreise.
Definition (Potenzmenge)
Sei A eine Menge. Dann setzen wir
℘(A) = { B | B ⊆ A }.
Die Menge ℘(A) heißt die Potenzmenge von A.
Beispiel
℘(∅) = { ∅ }, ℘({ 0 }) = { ∅, { 0 } }, ℘({ 1, 2 }) = { ∅, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 } }.
Die Potenzmenge ist ein Beispiel für ein Mengensystem:
Definition (Mengensystem)
Eine Menge M heißt Mengensystem, falls jedes Element von M eine Menge ist.
Definition (Durchschnitt, Vereinigung für Mengensysteme)
Sei M ein Mengensystem. Dann setzen wir:
⋂ M = { a | für alle A ∈ M ist a ∈ A }, falls M ≠ ∅
⋃ M = { a | es gibt ein A ∈ M mit a ∈ A }
Beispiel
Sei M = { { 1, 2, 4 }, { 1, 3 } }. Dann gilt ⋂ M = { 1 }, ⋃ M = { 1, 2, 3, 4 }.
Ein Venn-Diagramm zur Illustration der Operation
(A ∩ B) − C ∪ (B ∩ C) − A ∪ (A ∩ C) − B
Hier vereinigen wir die drei Farbinseln. Die Operation ist äquivalent zu
(A ∩ (B ∪ C)) ∪ (B ∩ C)) − (A ∩ B ∩ C)
Die Vereinigung erzeugt den gesamten Überlappungsbereich der Mengen. Anschließend entfernen wir den gemeinsamen Schnitt.
Die dargestellte Menge lässt sich auch schreiben als
( a | a kommt in genau zwei der drei Mengen A, B, C als Element vor }
Wir stellen einige Rechenregeln für Mengenoperationen zusammen. Der Leser möge sich einige von ihnen durch Venn-Diagramme veranschaulichen. Für eine Komplementbildung relativ zu M ist es günstig, die Mengenkreise in einen rechteckigen Rahmen einzuzeichnen, der die Grundmenge M darstellt.
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc | De Morgan Regeln |
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C | Assoziativgesetze |
A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A | Kommutativgesetze |
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) | Distributivgesetze |
A − B = A − (B ∩ A) = A ∩ Bc A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C) (A − B) − C = A − (B ∪ C) | Differenzenregeln |
A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ C A Δ B = B Δ A | Regeln für Δ |