Geordnete Paare und Kreuzprodukt

 Für alle a, b gilt { a, b } = { b, a } nach dem Extensionalitätsprinzip. Oft wollen wir die Reihenfolge berücksichtigen und ein Objekt

(a, b)  =  „das geordnete Paar von a und b“

bilden, etwa (1, 3) in einem Koordinatensystem. Die Paarbildung soll erfüllen:

(#)  Für alle a, b, c, d gilt: (a, b) = (c, d) genau dann, wenn a = c und b = d.

Wir könnten geordnete Paare als Grundbegriff ansehen. Eleganter ist es, sie auf den ungeordneten Mengenbegriff zurückzuführen. Dies ist wie folgt möglich:

Definition (Kuratowski-Paar)

Für alle a, b ist das geordnete Paar (a, b) von a und b definiert durch

(a, b)  =  { { a }, { a, b } }.

Die genaue Form der Definition ist für das Folgende nicht wichtig. Entscheidend ist, dass (#) gilt, was leicht nachzuweisen ist.

Definition (Kreuzprodukt)

Seien A, B Mengen. Dann setzen wir

A × B  =  { (a, b) | a  ∈  A und b  ∈  B }.

Die Menge A × B heißt das Kreuzprodukt oder kartesische Produkt der Mengen A und B.

Für jede Menge A können wir die folgenden Potenzen erklären:

A1  =  A,  A2  =  A × A,  A3  =  A2 × A  =  (A × A) × A,  und allgemein

An + 1  =  An × A  für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1.

Wir schreiben (a, b, c) statt ((a, b), c) und nennen (a, b, c) ein Tripel. Analoges gilt für Quadrupel (a, b, c, d) und allgemeine n-Tupel (a1, …, an).

Beispiele

(1)

{ 1, 2 } × { }  =  { }

(2)

{ 1, 2 } × { 3 }  =  { (1, 3), (2, 3) }

(3)

{ 1, 2 } × { 2, 3 }  =  { (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3) }

(4)

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }5  =  { (a1, …, a5) | ai  ∈  { 1, …, 6 } für i = 1, …, 5 }

Diese Menge eignet sich für die Modellierung eines fünffachen Wurfs eines Würfels. Sie besitzt genau 7776 Elemente (mit 65 = 7776). Analog ist { 0, 1 }10 ein geeigneter Ergebnisraum eines 10-fachen Münzwurfs.