Abbildungseigenschaften

Von großer Bedeutung sind die folgenden allgemeinen Eigenschaften:

Definition (injektiv, surjektiv, bijektiv)

Sei f : A → B. Dann heißt f

(a)	injektiv, falls ∀a, b  ∈  A (f (a) = f (b) → a = b)

(b)	surjektiv (nach B), falls ∀b  ∈  B ∃a  ∈  A f (a) = b

(c)	bijektiv (nach B), falls f injektiv und surjektiv ist.

Bemerkung

Eine Funktion f ist (als Graph) injektiv oder nicht. Für „surjektiv“ und „bijektiv“ ist ein Wertevorrat B erforderlich. Ist f in der Form f : A → B angegeben, so können wir den Zusatz „nach B“ weglassen.

Anschaulich bedeuten diese Begriffe:

injektiv	Kein Wert wird mehrfach angenommen (Linkseindeutigkeit)
surjektiv	Jeder Wert des betrachteten Wertevorrats B wird angenommen
bijektiv	Vollständige Paarung der Elemente von A und B

Ist f : ℝ → ℝ eine Funktion auf den reellen Zahlen, so haben die drei Begriffe zusätzlich die folgende anschauliche Bedeutung für den in der x-y-Ebene dargestellten Funktionsgraphen von f:

injektiv	Jede Waagrechte schneidet f höchstens einmal
surjektiv	Jede Waagrechte schneidet f mindestens einmal
bijektiv	Jede Waagrechte schneidet f genau einmal

Beispiele

(1)	Die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = x² für alle x  ∈  ℝ ist weder injektiv noch surjektiv.

(2)	Die Funktion f : ℝ → ℝ mit f (x) = x³ für alle x  ∈  ℝ ist bijektiv.

(3)	Die Funktion f : ℝ² → ℝ mit f(x, y) = x für alle (x, y)  ∈  ℝ² ist surjektiv, aber nicht injektiv.

(4)	Sei A eine Menge. Dann ist f : A → ℘(A) mit f (a) = { a } für alle a  ∈  A injektiv, aber nicht surjektiv ({ }  ∈  ℘(A) liegt nicht im Wertebereich).

(5)	Eine Bijektion der Form f : A → A heißt auch eine Permutation auf A. Für A = { 1, 2, 3 } gibt es genau sechs Permutationen. Eine davon ist f = { (1, 2), (2, 3), (3, 1) }.