Die Komposition
Zwei Funktionen können wir nacheinander anwenden, wenn die Werte der ersten Funktion Stellen der zweiten Funktion sind:
Definition (Komposition, Verknüpfung)
Seien f : A → B und g : B → C. Dann heißt die Funktion h : A → C mit
h(a) = g(f (a)) für alle a ∈ A
die Komposition oder Verknüpfung von f und g. In Zeichen schreiben wir
h = g ∘ f [ gelesen: „g nach f“ ]
Mengentheoretisch können wir g ∘ f definieren durch
g ∘ f = { (a, g(f (a)) | a ∈ A }.
Wichtig ist, dass in g ∘ f zuerst f und dann g angewendet wird. Im Allgemeinen ist f ∘ g gar nicht definiert, wenn g ∘ f definiert ist. Aber auch wenn beide Kompositionen möglich sind, ist die Reihenfolge wichtig:
Beispiel
Seien f, g : ℝ → ℝ mit f (x) = x2 und g(x) = x + 1 für alle x ∈ ℝ. Dann gilt für alle x ∈ ℝ:
(g ∘ f) (x) = g(f (x)) = x2 + 1
(f ∘ g) (x) = f (g(x)) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
Die beiden Kompositionen stimmen nur am Nullpunkt überein. Es gilt g ∘ f ≠ f ∘ g. Die Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
Dagegen gilt:
Satz (Assoziativität der Komposition)
Seien f : A → B, g : B → C, h : C → D. Dann gilt h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.
Beweis
Die Kompositionen h ∘ (g ∘ f) und (h ∘ g) ∘ f sind Funktionen mit dem Definitionsbereich A. Für alle a ∈ A gilt
(h ∘ (g ∘ f)) (a) = h((g ∘ f) (a)) = h(g(f (a))) = (h ∘ g) (f (a)) = ((h ∘ g) ∘ f) (a).
Dies zeigt die Behauptung.
Wir können wie also wie bei allen assoziativen Operationen Klammern weglassen und kurz h ∘ g ∘ f schreiben.