Bild und Urbild
Definition (Bild und Urbild)
Sei f : A → B. Dann setzen wir
f [ X ] = { f (a) | a ∈ X } für alle X ⊆ A,
f −1[ Y ] = { a ∈ A | f (a) ∈ Y } für alle Y ⊆ B.
Die Menge f [ X ] heißt das Bild von X unter f. Analog heißt f −1[ Y ] das Urbild von Y unter f.
Bemerkung
(1) | Das Urbild f −1[ Y ] ist für jede Funktion f : A → B und jede Teilmenge Y ⊆ B definiert. Es ist nicht erforderlich, dass f injektiv ist. |
(2) | Das Bild f [ A ] des gesamten Definitionsbereichs ist der Wertebereich von f (im Allgemeinen eine echte Teilmenge des angegebenen Wertevorrats B). Diese Notation hatten wir oben schon verwendet. |
(3) | In der Literatur ist auch die Notation f (X) anstelle von f [ X ] zu finden. Die Bild-Operation wird hier als eine Funktion von ℘(A) nach ℘(B) aufgefasst, die nicht ganz ungefährlich wieder mit f bezeichnet wird. |
Anschaulich sammeln wir in f [ X ] alle Funktionswerte auf, deren Stellen in X liegen. Dynamisch gesprochen schicken wir die Menge X durch die Funktion f. Die Bezeichnung als „Bild“ ist besonders suggestiv, wenn wir an geometrische Abbildungen denken, etwa die Projektion eines Objekts an eine Wand. Bei der Bildung des Urbildes f −1[ Y ] suchen wir dagegen alle Stellen, deren Werte unter f in Y landen.
Beispiele
Für die Quadratfunktion sq : ℝ → ℝ gilt:
(1) | sq[ X ] = [ 0, 4 ] für X = [ 0, 2 ], [ −2, 0 ], [ −2, 2 ] |
(2) | sq−1[ Y ] = [ −2, 2 ] für Y = [ 0, 4 ] |
(3) | sq−1[ Y ] = ∅ für alle Y ⊆ ] −∞, 0 [ |
Urbilder haben bessere Eigenschaften als Bilder. Beispielsweise gilt stets
f −1[ Y1 ∩ Y2 ] = f −1[ Y1 ] ∩ f −1[ Y2 ].
Dagegen gilt am Allgemeinen lediglich
f [ X1 ∩ X2 ] ⊆ f [ X1 ] ∩ f [ X2 ].
Beispiel (1) zeigt, dass die andere Inklusion nicht gelten muss.