Die Dedekind-Peano-Axiome
Definition (Zählreihe, Struktur der natürlichen Zahlen)
Seien N eine Menge, S : N → N und a ∈ N. Dann heißt (N, S, a) eine Zählreihe oder Struktur der natürlichen Zahlen, falls gilt:
(D1) | Die Funktion S ist injektiv. |
(D2) | Das Element a liegt nicht im Wertebereich von S. |
(D3) | Sei ℰ(n) eine Eigenschaft. Es gelte: (a) ℰ(a) (b) ∀n (ℰ(n) → ℰ(S(n)) Dann gilt ℰ(n) für alle n ∈ N. |
Das Element a heißt das Anfangselement und die Funktion S die Nachfolgerfunktion der Zählreihe. Gilt S(n) = m, so heißt m der Nachfolger von n und weiter n der Vorgänger von m.
Die Aussagen (D1) − (D3) sind die Dedekind-Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen. Speziell heißt (D3) das Induktionsaxiom (für Eigenschaften).
Diskussion der Axiome
Die beiden ersten Axiome sind unproblematisch. Das ausgezeichnete Element a ist das linke Element unserer Diagramme, die Nachfolgerfunktion S entspricht den Pfeilen, die beim Anfangselement beginnen und endlos weiter führen ohne Schleifen zu bilden. Das Induktionsaxiom ist schwieriger. Es ist der Versuch, die Anschauung (A5) umzusetzen: Fangen wir beim Anfangselement an, so erreichen wir jede andere Zahl, wenn wir hinreichend oft Nachfolger bilden. Dies lässt sich nicht leicht formalisieren, da wir für „hinreichend oft“ bereits die natürlichen Zahlen brauchen. Der anscheinend bestmögliche Ersatz für (A5) ist:
Gilt eine Eigenschaft für das Anfangselement und vererbt sie sich von jeder Zahl n auf ihren Nachfolger S(n), so gilt die Eigenschaft für alle Zahlen.
Das Induktionsaxiom ist die formale Version dieser Anschauung.
Teilmengen statt Eigenschaften
Anstelle von Eigenschaften für N können wir äquivalent auch Teilmengen von N verwenden. Das Induktionsaxiom lautet dann:
(D3)′ | Sei X ⊆ N. Es gelte (a) a ∈ X (b) ∀n (n ∈ X → S(n) ∈ X) Dann gilt X = N. |