Der naive Zahlbegriff
Wichtige Mengen des Zahlsystems sind:
| ℕ | = { 0, 1, 2, 3, … }(natürliche Zahlen) |
| ℤ | = { …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }(ganze Zahlen) |
| ℚ | = { a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0 }(rationale Zahlen) |
| ℝ | = { ± n,d1d2d3 … | n ∈ ℕ, di ∈ { 0, …, 9 } für alle i ≥ 1 }(reelle Zahlen) |
Eigenschaften des Zahlsystems
(1) | Die Zahlen unterliegen den Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Durch den Schritt von ℕ nach ℤ erhalten wir eine freie Subtraktion, durch den Schritt von ℤ nach ℚ eine freie Division, bei der nur die Division durch Null ausgeschlossen ist. Auf den reellen Zahlen lässt sich eine Exponentiation ax erklären, bei der lediglich gefordert wird, dass die Basis a positiv ist. Der Exponent kann eine beliebige reelle Zahl sein. |
(2) | Eine rationale Zahl a/b können wir kürzen, indem wir den Zähler a und den Nenner b durch den größten gemeinsamen Teiler von a und b dividieren. Dadurch erhalten wir eindeutige Bruchdarstellungen. |
(3) | Rationale Zahlen lassen sich als endliche oder periodische unendliche Dezimalbrüche schreiben, sodass ℚ ⊆ ℝ. Reelle Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrational. Die irrationalen Zahlen entsprechen den unendlichen nichtperiodischen Dezimalbrüchen. |
(4) | Auf den Zahlen besteht eine Ordnung, in der je zwei Zahlen vergleichbar sind. In ℕ besitzt jede Zahl einen eindeutigen Nachfolger, in ℤ zudem einen eindeutigen Vorgänger. Die rationalen Zahlen sind dicht geordnet, d. h. zwischen je zwei rationalen Zahlen liegt eine weitere rationale Zahl (etwa das arithmetische Mittel der beiden Zahlen). Das Gleiche gilt für die reellen Zahlen. |
(5) | Die Zahlen lassen sich den Punkten einer Linie zuordnen, die dadurch zu einer Zahlengeraden wird. Die reellen Zahlen bilden im Gegensatz zu den rationalen Zahlen ein lückenloses Kontinuum, in dem die in der Analysis benötigten Grenzübergänge durchgeführt werden können. |
Diese Punkte fassen das aus der Schule bekannte Wissen zusammen. Die „Höhere Mathematik“ des Zahlsystems besteht in der mengentheoretischen Konstruktion und der axiomatischen Charakterisierung der Zahlen. Sie ist, wie wir für die natürlichen Zahlen schon gesehen haben, vergleichsweise komplex. Alles auszuführen braucht viel Raum und Zeit. Wir begnügen uns hier mit einem Überblick, der wichtige Aspekte herausgreift.