Die rationalen Zahlen
Zu den wichtigsten Ergebnissen über das Zahlsystem gehört:
Satz (Charakterisierung der rationalen Zahlen)
Es gibt einen bis auf die Namen der Zahlen eindeutigen kleinsten (bzgl. der Inklusion ⊆) angeordneten Körper. Er umfasst ℤ und wir können jedes seiner Elemente q in der Form q = a/b = a · b−1 mit a, b ∈ ℤ, b ≠ 0, schreiben.
Beweisskizze
Wir definieren zunächst einen angeordneten Körper ℚ, indem wir auf der Menge der Brüche die übliche Addition, Multiplikation und Ordnung einführen (gemäß den Formeln in „Zahlen auf einer Linie“). Einen Bruch können wir formal als Paar (a, b) ∈ ℤ × (ℤ − { 0 }) auffassen, wobei wir Paare (a, b), (c, d) mit ad = bc miteinander identifizieren (sodass zum Beispiel die Paare (1, 2), (3, 6) und (−5, −10) jeweils den Bruch „Einhalb“ repräsentieren). Wir weisen nun nach, dass die Axiome (K1) − (K15) gelten. Zudem hat jedes Element q des Körpers ℚ die gewünschte Form a/b = a · b−1.
Ist nun K irgendein angeordneter Körper, so setzen wir
2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1, …
wobei wir die 1 des Körpers verwenden. Aus den Anordnungsaxiomen folgt, dass 0 < 1 < 2 < 3 < … Damit können wir ℕ ⊆ K annehmen. Da additive Inverse existieren, sind −1, −2, −3, … in K, sodass wir ℤ ⊆ K annehmen können. Für alle a, b ∈ ℤ mit b ≠ 0 ist a/b = a · b−1 in K definiert, sodass wir annehmen können, dass der Körper ℚ in K enthalten ist.
Den im Wesentlichen eindeutigen Körper des Satzes nennen wir den angeordneten Körper der rationalen Zahlen. Wir bezeichnen ihn mit (ℚ, +, ·, 0, 1, <) oder kurz mit ℚ. Konkret können wir ℚ wie im Beweis definieren. Es gilt
ℚ = { a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0 } mit a/b = a · b−1.
Unsere axiomatische Beschreibung der rationalen Zahlen lautet in Kurzform:
Die rationalen Zahlen sind der kleinste angeordnete Körper.
Wie die rationalen Zahlen konstruiert werden ist im mathematischen Alltag unwesentlich (der Leser vergleiche die Konstruktion von ℕ nach von Neumann). Sobald die Existenz gesichert ist, sind die Struktureigenschaften entscheidend, die in den Axiomen (K1) − (K15) zusammengefasst werden. Eine rationale Zahl lässt sich damit ebenso gut als Paar ganzer Zahlen auffassen wie als Vielfaches eines Punktes 1/m auf einer Linie. Es gibt wie bei ℕ eine ausgezeichnete Konstruktion, bei der zum Beispiel 5/3 = 10/6 = { (a, b) ∈ ℤ2 | b ≠ 0 und 5b = 3a } oder mit gekürzten Repräsentanten 5/3 = 10/6 = (5, 3) ∈ ℤ2 gilt.