Unendliche Dezimaldarstellungen

Wir haben gesehen, dass jeder unendliche Dezimalbruch eine reelle Zahl definiert. Umgekehrt gilt:

Sei x  ∈  ℝ mit x ≥ 0. Dann gibt es ein n  ∈  ℕ und eine Folge d₁, d₂, d₃, … mit d_i  ∈  { 0, …, 9 } für alle i ≥ 1 derart, dass

x = n,d₁ d₂ d₃ ….

Sei n die größte natürliche Zahl kleinergleich x (d. h. n = ⌊ x ⌋). Wir definieren d₁, d₂, d₃, … rekursiv durch Bestapproximation von unten:

d₁ = „das größte d  ∈  { 0, …, 9 } mit n, d ≤ x“,

d_k + 1 = „das größte d  ∈  { 0, …, 9 } mit n, d₁ … d_k d ≤ x“ für alle k ≥ 1.

Dann gilt x = sup_k ≥ 1 n, d₁ … d_k = n,d₁ d₂ d₃ …

Wir nennen x = n, d₁ d₂ d₃ … eine (unendliche) Dezimaldarstellung von x. Nach dem Satz gilt:

ℝ = { ± n,d₁ d₂ d₃… | n  ∈  ℕ, d_i  ∈  { 0, …, 9 } für alle i ≥ 1 }.

Damit haben wir die vertraute Form der reellen Zahlen wiedergefunden. Wichtig ist dabei:

Sei x  ∈  ℝ mit x ≥ 0. Dann gilt:

(1)	Ist x irrational, so ist die Dezimaldarstellung von x eindeutig.

(2)	Ist x rational, so gibt es genau eine oder genau zwei Dezimaldarstellungen von x. Gibt es zwei Darstellungen, so hat die eine die Periode 9 und die andere die Periode 0 (sodass x ein endlicher Dezimalbruch ist).

(3)	Ist x ≠ 0 und x = n/m gekürzt mit m ≥ 1, so hat x genau dann zwei unendliche Dezimaldarstellungen, wenn m nur die Primfaktoren 2 und 5 besitzt, also von der Form 2^d 5^e ist mit Exponenten d,e ≥ 0.

(1)	Die Darstellung der irrationalen Zahl 0,0100100010000… ist eindeutig.

(2)	Die Darstellung 0,090909… der rationalen Zahl 1/11 ist eindeutig.

(3)	Die rationale Zahl 1/4 besitzt die beiden Dezimaldarstellungen 1/4 = 0,25 = 0,25000…, 1/4 = 0,25 = 0,24999…