Der Körper der komplexen Zahlen

Definition (komplexe Zahlen, imaginäre Einheit)

Wir setzen

ℂ  =  ℝ2  =  { (x, y) | x, y  ∈  ℝ }.

Jedes Element z von ℂ heißt eine komplexe Zahl. Für alle komplexen Zahlen z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) setzen wir:

z1 + z2  =  (x1 + x2,  y1 + y2), (komplexe Addition)

z1 · z2  =  (x1x2 − y1y2,  x1y2 + y1 x2), (komplexe Multiplikation)

mit der reellen Addition und Multiplikation auf der rechten Seite. Weiter setzen wir 0 = (0, 0), 1 = (1, 0), i = (0, 1). Die komplexe Zahl i heißt die imaginäre Einheit.

 Wir nennen ℂ auch die Gaußsche Zahlenebene. Jede komplexe Zahl ist ein Element der Ebene. Wir sind es gewohnt, Elemente der Ebene als Punkte oder Vektoren anzusehen. Dies bleibt erhalten, aber nun kommt ein neuer wesentlicher Aspekt hinzu: Die Elemente der Ebene sind nun auch Zahlen, mit denen wir so rechnen können wie mit rationalen und reellen Zahlen. Der Nachweis der Körperaxiome (K1) − (K10) zeigt:

Satz (Körper der komplexen Zahlen)

(ℂ, +, ·, 0, 1) ist ein Körper.

Durch unsere Identifikation von x  ∈  ℝ mit (x, 0)  ∈  ℂ ist jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl. Damit gilt

ℕ  ⊆  ℤ   ⊆  ℚ  ⊆  ℝ  ⊆  ℂ

Wir haben das Zahlsystem also noch einmal erweitert. Die alles dominierende neue Zahl ist die imaginäre Einheit mit ihrer Eigenschaft

i2  =  −1.

Das ist vollkommen neu. In den reellen Zahlen sind alle Quadrate größergleich Null. In den komplexen Zahlen hat die Gleichung z2 = −1 zwei Lösungen, nämlich i und −i. In diesem Sinne gilt

i  =  −1.

Diese Lesart ist der Grund für die seltsame Wortwahl imaginär. Eine Wurzel aus −1 galt lange als eine nur vorgestellte und damit imaginäre Größe. Die Mathematiker hatten entdeckt, dass sie mit −1 Gleichungen dritten und höheren Grades lösen konnten. Erst Gauß hat diese Zahlen entmystifiziert. Als Elemente der Ebene, die wir vor uns sehen können, sind sie ebenso real wie ℝ.