Die komplexe Konjugation

Eine sehr nützliche und häufig verwendete Funktion auf ℂ ist:

Sei z  ∈  ℂ. Dann setzen wir:

z = z* = Re(z) − i Im(z).

Die komplexe Zahl z heißt die (komplex) Konjugierte von z.

Geometrisch können wir die komplexe Konjugation als Spiegelung des Vektors z an der x-Achse auffassen.

(1)	Es gilt 2 + i3 = 2 − i 3. In Vektornotation gilt (2, 3) = (2, −3).

(2)	Es gilt z = z genau dann, wenn z reell ist, d. h. wenn Im(z) = 0.

(3)	Es gilt i = −i.

Nützlich sind:

Für alle z, w  ∈  ℂ gilt:

(a)	z + w = z + w, z w = z w

(b)	\|z\|² = z · z

(c)	Re(z) = $\frac{z + \bar{z}}{2}$ , Im(z) = $\frac{z - \bar{z}}{2 i}$

(d)	z⁻¹ = $\frac{\bar{z}}{{\|z\|}^{2}}$ , falls z ≠ 0(Inversenformel)

Die Aussagen lassen sich sowohl algebraisch als auch mit Hilfe der geometrischen Multiplikationsregel einsehen. Wir diskutieren dies in den Übungen.

(1)	Es gilt i⁻¹ = −i. Dies lässt sich durch die Formel (d) mit i = − i und \|i\| = 1 oder natürlich durch Nachrechnen einsehen: i · (−i) = − i² = 1.

(2)	Für z = 1 + i 2 gilt \|z\|² = 1 + 4 = 5. Damit gilt nach der Inversenformel: z⁻¹ = ¹₅ − i²₅.