Polarkoordinaten

Ebene Polarkoordinaten

Einen Vektor der Ebene können wir in Polarkoordinaten der Form (r, φ) angeben. Die erste Koordinate gibt seine euklidische Länge an, die zweite den modulo 2π eindeutigen Winkel, den der Vektor mit der x-Achse einschließt (gegen den Uhrzeigersinn). Dem Nullpunkt werden oft keine Polarkoordinaten zugewiesen, wir können aber (0, 0) zulassen. Zur Verdeutlichung schreiben wir (r, φ)_polar statt (r, φ). Wir identifizieren Vielfache von 2π, sodass (r, φ)_polar = (r, φ + k2π)_polar für alle k  ∈  ℤ.

Umrechnung der Koordinaten

Kartesische Koordinaten (x, y) lassen sich in Polarkoordinaten (r, φ) durch

r  =  $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$,  φ  =  arctan₂(x, y)

umrechnen. Dabei ist arctan₂ : ℝ² → ] −π, π ] eine zweistellige Version des Arkustangens, die den Quadranten von (x, y) berücksichtigt. Es gilt:

${\text{arctan}}_2(\mathrm{x},\mathrm{y})= { \begin{array}{cc}\text{arctan}(\mathrm{y}/\mathrm{x})\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}>0\hfill \\ \text{arctan}(\mathrm{y}/\mathrm{x})+\text{sgn}(\mathrm{y})\mathrm{\pi }\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}<0,\mathrm{y}\ne 0\hfill \\ \mathrm{\pi }\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}<0,\mathrm{y}=0\hfill \\ \text{sgn}(\mathrm{y})\mathrm{\pi }/2\hfill & \mathit{\text{falls\hspace{1em}}}\mathrm{x}=0,\mathrm{y}\ne 0.\hfill \end{array}$

Dabei gibt sgn(y)  ∈  { −1, 0, 1 } das Vorzeichen von y an. Umgekehrt führen die Formeln

x  =  r cos(φ),  y  =  r sin(φ)

von Polarkoordinaten (r, φ) zu kartesischen Koordinaten (x, y).

Geometrische Multiplikationsregel in Polarkoordinaten

Für alle z₁, z₂  ∈  ℂ gilt

z₁ · z₂  =  (|z₁| |z₂|, arg(z₁) + arg(z₂))_polar.