Die Darstellung komplexer Funktionen
Eine reelle Funktion f : ℝ → ℝ können wir durch einen Plot ihres Graphen in der x-y-Ebene visualisieren. Für eine komplexe Funktion f : ℂ → ℂ ist eine Visualisierung nicht mehr so einfach, da wegen ℂ = ℝ2 insgesamt vier Dimensionen beteiligt sind. Wie schon im Kapitel über Funktionen geschildert, können wir f als Vektorfeld darstellen, indem wir an jeden Punkt z den Vektor f (z) anheften. Übersichtlichere Ergebnisse liefert aber meistens:
Die Farbkreismethode (color wheel method, domain coloring)
Wir ordnen jeder komplexen Zahl z eine eindeutige Farbe zu. Hierzu überdecken wir die Ebene mit einem Farbkreis, dessen Farben zum Nullpunkt hin immer intensiver werden, für große Radien aber verblassen. Der Nullpunkt selbst ist schwarz. Eine Funktion f : ℂ → ℂ visualisieren wir, indem wir jeden Punkt z der Ebene mit der Farbe f (z) einfärben.
Wir betrachten einige Beispiele.
Der Farbkreis der Visualisierung mit einem polaren Koordinatengitter. Er entspricht der Darstellung der Identität, d. h. der Funktion f : ℂ → ℂ mit f (z) = z für alle z ∈ ℂ. Jede komplexe Zahl wird mit einer winkelabhängigen Farbe und radiusabhängigen Intensität eingefärbt. Die folgenden Diagramme zeigen neben dem Farbverlauf auch die Verformung des polaren Gitters durch die betrachtete Funktion.
Die Funktion f : ℂ → ℂ mit f (z) = i z (Drehung um π/2 gegen den Uhrzeigersinn).
Der Farbkreis der Identität wird um π/2 im Uhrzeigersinn gedreht.
Die Funktion f : ℂ* → ℂ mit f (z) = 1/z = z/|z|2 für z ≠ 0. Die Farben des Farbkreises sind an der x-Achse gespiegelt und ihre Intensität ist quadratisch invertiert.
Die Quadratfunktion sq : ℂ → ℂ mit sq(z) = z2. Die Winkelverdopplung beim Übergang von z zu z2 bewirkt den doppelten Durchlauf des Farbspektrums.
Die Funktion f : ℂ → ℂ mit f (z) = z3 − 1. Die drei Nullstellen (schwarze Punkte) sind die dritten Einheitswurzeln. Sie bilden ein gleichseitiges Dreieck im Einheitskreis.
Die Funktion f : ℂ → ℂ mit f (z) = z3 − i z2 + z − i = (z − i)2 (z + i). Sie besitzt eine doppelte Nullstelle bei i und eine einfache Nullstelle bei −i.
Die Wurzelfunktion sqrt : ℂ → ℂ mit Winkeln in ] −π/2, π/2 ]. Für z = (r, φ)polar mit φ ∈ ] −π, π ] gilt sqrt(z) = (, φ/2)polar.