Nullstellen von Polynomen
Von besonderem Interesse sind die Nullstellen eines Polynoms. Sie entsprechen den Lösungen einer Gleichung der Form
an xn + an − 1 xn − 1 + … + a0 = 0
Nullstellen einer Geraden
Ein konstantes Polynom der Form f (x) = c hat entweder keine Nullstelle (Fall c ≠ 0) oder unendlich viele Nullstellen (Fall c = 0). Eine Gerade f (x) = ax + b mit a ≠ 0 hat die eindeutige Nullstelle x1 = −b/a.
Nullstellen einer Parabel
Sei f (x) = ax2 + bx + c eine Parabel. Dann gilt
| f (x) = ax2 + bx + c | = a(x2 + bx/a) + c |
| = a(x2 + bx/a + b2/(4a2) − b2/(4a2)) + c | |
| = a(x + b/(2a))2 + c − b2/(4a). |
Diese quadratische Ergänzung überführt die Parabel in die Scheitelform a(x − x0)2 + y0 mit x0 = −b/2a, y0 = c − b2/(4a). Wir erhalten
x1/2 = x0 ± = (Mitternachtsformel)
für die Nullstellen von f. Es gibt genau dann eine Nullstelle, wenn die Diskriminante d = b2 − 4ac größergleich 0 ist. Ist d > 0, so gilt x1 ≠ x2. Im Fall d = 0 sprechen wir von einer doppelten Nullstelle.
Es gibt allgemeine Lösungsformeln für Polynome vom Grad 3 und 4, nicht aber für Polynome ab dem Grad 5. Hier müssen numerische Methoden zur approximativen Berechnung einer Nullstelle verwendet werden. Allgemein gilt:
Satz (Abspalten einer Nullstelle)
Sei f ein Polynom vom Grad n ≥ 1, und sei x0 eine Nullstelle von f. Dann gibt es ein Polynom g mit deg(g) = n − 1 und
f (x) = (x − x0) g(x) für alle x ∈ ℝ(Abspalten der Nullstelle x0)
Beweis
Die Polynomdivision von f durch x − x0 liefert die Form f (x) = g(x)(x − x0) + c. Durch Einsetzen von x0 erhalten wir wegen f (x0) = 0, dass c = 0.
Wiederholtes Abspalten zeigt, dass ein Polynom vom Grad n ≥ 1 höchstens n Nullstellen besitzen kann. Im Idealfall ergibt sich eine Zerlegung in Linearfaktoren der Form f (x) = an(x − x1) …(x − xn) für alle x ∈ ℝ.
Einige Polynome mit Grad 2, 3, 4 und 5.
Zur Kontrolle ihres Verlaufs wurden die Polynome aus Linearfaktoren und y-Verschiebungen aufgebaut. In Standardform lauten die Polynome der Reihe nach
x2 + x
x3 − x2 − 2x − 30
x4 + 2x3 − 5x2 − 6x + 20
x5 − 2x4 − 13x3 + 14x2 + 24x − 10
Alle Polynome sind normiert. Sie haben zwei, eine, keine bzw. fünf reelle Nullstellen.