Der Nachweis der Konvergenz und Divergenz
Um zu zeigen, dass eine Folge (xn)n ∈ ℕ konvergiert, müssen wir ein x ∈ ℝ finden und für dieses x die Konvergenzbedingung
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 xn ∈ ] x − ε, x + ε [
nachweisen. Äquivalent ist die Formulierung
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − x| < ε(Konvergenzbedingung für x, Abstandsform)
Denn für jedes y ∈ ℝ gilt y ∈ ] x − ε, x + ε [ genau dann, wenn |y − x| < ε. Welche Version man verwendet, ist Geschmackssache. Je nach Art der Folge kann die eine Form einfacher erscheinen als die andere.
Exemplarischer Nachweis einer Konvergenz
Wir zeigen, dass
limn ≥ 1 (1 + 1/n) = 1.
Sei hierzu ε > 0. Nach dem Archimedischen Axiom gibt es ein n0 mit n0 ε > 1. Dann gilt 1/n0 < ε und weiter 1/n < ε für alle n ≥ n0. Folglich gilt
1 + 1/n ∈ ] 1, 1 + ε [ ⊆ ] 1 − ε, 1 + ε [ für alle n ≥ n0.
Dies zeigt die Behauptung.
Zum Nachweis der Divergenz einer Folge (xn)n ∈ ℕ müssen wir für ein beliebige x ∈ ℝ die Negation der Konvergenzbedingung nachweisen, also
¬ ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 xn ∈ ] x − ε, x + ε [.
Die Verneinungsregeln für Quantoren ergeben:
∃ε > 0 ∀n0 ∃n ≥ n0 xn ∉ ] x − ε, x + ε [.(Divergenzbedingung für x)
Äquivalent hierzu ist
∃ε > 0 ∀n0 ∃n ≥ n0 |xn − x| ≥ ε(Divergenzbedingung für x, Abstandsform)
Exemplarischer Nachweis einer Divergenz
Wir zeigen, dass 1, −1, 1, −1, … divergiert. Sei hierzu x ∈ ℝ beliebig. Wir zeigen die Divergenzbedingung für x. Hierzu setzen wir ε = 1. Sei n0 ∈ ℕ beliebig. Dann gilt
{ 1, −1 } = { xn0, xn0 + 1 }.
Das offene Intervall I = ] x − ε, x + ε [ hat die Länge 2, sodass es keine zwei Zahlen mit Abstand 2 enthalten kann. Damit gilt 1 ∉ I oder −1 ∉ I, sodass n = n0 oder n = n0 + 1 die Divergenzbedingung erfüllt.