Epsilon-Umgebungen
Die Intervalle der Form ] x − ε, x + ε [ verdienen einen eigenen Begriff:
Definition (Epsilon-Umgebung)
Seien x ∈ ℝ und ε > 0. Dann heißt
Uε(x) = ] x − ε, x + ε [ = { y ∈ ℝ | |x − y| < ε }
die (offene) Epsilon-Umgebung von x.
Beispiele
(1) | U1(0) = ] −1, 1 [ , U1(x) = ] x − 1, x + 1 [ für alle x ∈ ℝ. |
(2) | Für alle a < b in ℝ gilt: ] a, b [ = Uε(x) mit ε = (b − a)/2 und x = a + ε = (a + b)/2. Jedes Intervall ] a, b [ ist eine Umgebung seines Mittelpunkts. |
Die Konvergenzbedingung für x lautet nun:
(+) ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 xn ∈ Uε(x)(Konvergenzbedingung für x)
Konvergenz in den Euklidischen Räumen
Sobald Umgebungen eines Punktes definiert sind, lässt sich mit (+) die Konvergenz von Folgen erklären. Insbesondere erhalten wir den Konvergenzbegriff für Folgen in den Räumen ℝd einer beliebigen Dimension d ≥ 1: Für alle d ≥ 1 und x ∈ ℝd setzen wir
Uε(x) = { y ∈ ℝd | „der Euklidische Abstand von y und x ist kleiner als ε“ }.
Damit ist „limn xn = x“ für Folgen (xn)n ∈ ℕ in ℝd und x ∈ ℝd, d ≥ 1, erklärt.
Für den Fall d = 2 (d. h. ℝ2 = ℂ) betrachten wir dies unten noch genauer.
Nützlich ist die folgende Sprechweise:
Definition (fast alle, schließlich)
Sei ℰ(n) eine Eigenschaft. Wir sagen, dass ℰ(n) für fast alle natürlichen Zahlen oder schließlich gilt, wenn { n ∈ ℕ | ¬ ℰ(n) } endlich ist.
Damit können wir die Konvergenz einer Folge (xn)n ∈ ℕ gegen x ebenso präzise wie anschaulich formulieren. Sie bedeutet:
Für alle ε > 0 liegen fast alle Glieder der Folge in Uε(x).
Oder wieder etwas salopp:
Jede ε-Umgebung von x fängt die Folge schließlich ein.