Uneigentliche Konvergenz
Wir zeigen vorab:
Satz (konvergente Folgen sind beschränkt)
Sei (xn)n ∈ ℕ eine konvergente Folge in ℝ. Dann ist die Folge beschränkt, d. h. es gibt ein s ∈ ℝ mit:
|xn| ≤ s für alle n ∈ ℕ.
Beweis
Sei limn xn = x. Dann gibt es ein n0 derart, dass xn ∈ ] x − 1, x + 1 [ für alle n ≥ n0. Wir setzen
s = max({ |x0|, …, |xn0 − 1|, |x| + 1 }).
Dann ist (xn)n ∈ ℕ beschränkt durch s.
Die Beschränktheit ist also notwendig für die Konvergenz. Sie ist nicht hinreichend: Die Folge 0, 1, 0, 1, … ist beschränkt, aber nicht konvergent.
Die Folgen 0, 1, 2, 3, … und 1, −1, 2, −2, 3, −3, … sind unbeschränkt und damit divergent. Die erste Folge strebt anschaulich gegen ∞, die zweite nicht. Um ein anschauliches „Streben gegen unendlich“ zu behandeln, führen wir folgende Variante der Konvergenz ein:
Definition (uneigentliche Konvergenz)
Eine Folge (xn)n ∈ ℕ in ℝ heißt uneigentlich konvergent gegen ∞, falls gilt:
∀s > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 xn > s
Analog heißt (xn)n ∈ ℕ heißt uneigentlich konvergent gegen −∞, falls gilt:
∀s > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 xn < −s
Wir schreiben dann limn xn = ∞ bzw. limn xn = −∞.
Die Aussage limn xn = ∞ bedeutet, dass die Folge schließlich über jeder noch großen Schranke s liegt. Analoges gilt für limn xn = −∞. An die Stelle der Umgebungen Uε(x) = ] x − ε, x + ε [ treten die unbeschränkten Intervalle ] s, ∞ [ bzw. ] −∞, −s [.
Beispiele
(1) | limn n = limn 2n = ∞, limn −n = limn −2n = −∞. |
(2) | Die Folge 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, … konvergiert weder eigentlich noch uneigentlich. Sie besitzt die konvergente Teilfolge 0, 0, 0, … und die uneigentlich konvergente Teilfolge 1, 2, 3, … |