Grenzwerte in den komplexen Zahlen
Wir hatten oben schon bemerkt, dass wir die Konvergenz einer Folge und die zugehörigen Sprechweisen und Notationen erklären können, sobald ein reellwertiger Abstand zwischen je zwei Punkten definiert ist. Für die komplexen Zahlen ergibt sich (mit der komplexen Betragsfunktion als Abstand):
Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen
Für eine Folge (zn)n ∈ ℕ komplexer Zahlen und z ∈ ℂ wird
limn zn = z
mit Hilfe der komplexen Betragsfunktion definiert durch
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |z − zn| < ε
Dabei ist ε wie bisher reell.
Die Aussage limn zn = z ist äquivalent dazu, dass für jedes ε > 0 fast alle (d. h. alle bis auf höchstens endlich viele) Folgenglieder in der offenen ε-Umgebung
Uε(z) = { w ∈ ℂ | |z − w| < ε }
liegen. Anschaulich bedeutet dies, dass jeder Kreis um z mit beliebig kleinem Radius ε > 0 die Folge schließlich einfängt. Weiter sind äquivalent:
(1) | limn zn = z in ℂ. |
(2) | limn Re(zn) = Re(z) und limn Im(zn) = Im(z) in ℝ. |
Die Konvergenz in ℂ lässt sich also als die koordinatenweise Konvergenz zweier reeller Folgen auffassen.
Die Limesregeln und die Cauchy-Charakterisierung gelten unverändert. Die uneigentliche Konvergenz muss mangels einer Ordnung in ℂ leicht angepasst werden: Ein Ausdruck
limn zn = ∞(uneigentliche Konvergenz in ℂ)
bedeutet in den komplexen Zahlen, dass limn |zn| = ∞.
Beispiele
(1) | Die komplexe Folge (in)n ∈ ℕ ist divergent. Die Folge (in/2n)n ∈ ℕ konvergiert gegen 0. |
(2) | Allgemein gilt: Ist z ∈ ℂ mit |z| < 1, so konvergiert (zn)n ∈ ℕ gegen 0. Ist z = 1, so konvergiert die Folge gegen 1. Andernfalls ist die Folge divergent. Ist |z| > 1, so gilt limn zn = ∞. |
(3) | Die Folge ((−1)n n)n ∈ ℕ ist in ℝ nicht uneigentlich konvergent. In ℂ konvergiert sie uneigentlich gegen ∞. |