Unendliche Reihen und ihre Partialsummen

 In der Analysis tauchen sehr häufig unendliche Summen der Form

(+)  x0  +  x1  +  x2  +  …  +  xn  +  …  mit xn  ∈  ℝ für alle n  ∈  ℕ

auf. Um sie zu definieren, führen wir sie auf Folgen zurück. Anschaulich berechnen wir eine Summe (+) schrittweise, indem wir ihre Partialsummen

s0  =  x0,  s1  =  x0  +  x1,  s2  =  x0  +  x1  +  x2,  s3  =  x0  +  x1  +  x2  +  x3,  …

berechnen. Die Idee ist nun, eine unendliche Summe mit der Folge ihrer Partialsummen zu identifizieren und den Grenzwert der Partialsummen zu betrachten.

Definition (Partialsumme, unendliche Reihe, Summe, Wert)

Sei (xn)n  ∈  ℕ eine reelle Folge. Für alle n  ∈  ℕ sei

sn  =  ∑k ≤ n xk  =  x0  +  …  +  xn.(n-te Partialsumme)

Wir setzen

∑n  ∈  ℕ xn  =  (sn)n  ∈  ℕ(unendliche Reihe mit Summanden xn)

Im Fall der Konvergenz der Folge (sn)n  ∈  ℕ setzen wir

∑n  ∈  ℕ xn  =  limn sn.(Summe, Wert der Reihe)

Notation

Wir beginnen eine Summation oft auch bei 1 statt 0, sodass die Reihe die Form ∑n ≥ 1 xn besitzt. Neben ∑n  ∈  ℕ xn verwenden wir gleichbedeutend

∑∞n = 0 xn,  ∑n ≥ 0 xn,  ∑n xn,  x0  +  x1  +  x2  +  …  +  xn  +  … 

 Es ist üblich, das Summen-Zeichen ∑ sowohl für die Reihe als auch für ihren Grenzwert zu verwenden. Aus dem Kontext wird klar, was gemeint ist.

Beispiele

(1)

Wir betrachten die Reihe ∑n ≥ 1 1/2n. In der Bedeutung als Folge gilt

∑n ≥ 1 1/2n  =  (sn)n ≥ 1  =  (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, …)  =  (1/2, 3/4, 7/8, 15/16, …)

In der Bedeutung als Grenzwert gilt ∑n ≥ 1 1/2n = limn sn = 1.

(2)

Die Reihe ∑n (−1)n divergiert. Denn es gilt (sn)n  ∈  ℕ = (1, 0, 1, 0, 1, 0, …) und diese Folge ist divergent. Dies zeigt erneut die Wichtigkeit von Definitionen. Das arithmetische Mittel 1/2 der Partialsummen sn ist ein sinnvoller Kandidat für den Wert der Reihe. Nach unserer Definition ist die Reihe divergent. Es gibt eine umfassendere Konvergenzdefinition (Cesàro-Mittel), bei der die Reihe tatsächlich den Wert 1/2 besitzt.

hm1-AbbIDreal_series_1

Das Diagramm zeigt die ersten Glieder einer reellen Folge (xn)n ∈ ℕ (blaue Punkte) und die entsprechenden Partialsummen der unendlichen Reihe ∑n xn (gelbe Punkte).

Wir betrachten einige Eigenschaften des Diagramms:

(1)

Es gilt (wie immer) s0 = x0. Wegen s5 = 0 gilt s6 = x6 und wegen s9 = 0 gilt x10 = s10.

(2)

Wegen x3 = x4 = 0 gilt s2 = s3 = s4.

(3)

Wegen x11, …, x15 > 0 ist s10 < s11 < … < s15.

hm1-AbbIDreal_series_2

Wie oben für die Summanden-Folge (xn)n ≥ 1 mit xn = 1/2n für n ≥ 1