Die geometrischen Reihen

Sei q  ∈  ℝ. Dann heißt ∑_n qⁿ die geometrische Reihe für q.

Für alle q  ∈  ℝ mit |q| < 1 konvergiert die Reihe ∑_n qⁿ und es gilt

∑_n qⁿ = ¹_1 − q.

Für alle q  ∈  ℝ mit |q| ≥ 1 divergiert die Reihe ∑_n qⁿ.

Sei q  ∈  ℝ beliebig. Dann gilt für alle n, dass

s_n = 1 + q + q² + … + qⁿ = ^{1 − q^n + 1}_1 − q(geometrische Summenformel)

(vgl. die Übungen). Ist |q| < 1, so gilt lim_n q^n + 1 = 0. In diesem Fall ist also

∑_n qⁿ = lim_n s_n = ^1 − 0_1 − q = ¹_1 − q.

Ist |q| ≥ 1 so gilt |qⁿ| ≥ 1 für alle n, sodass die Summanden der Reihe keine Nullfolge bilden. Folglich divergiert die Reihe (vgl. die Übungen).

(1)	Es gilt ∑_n (1/2)ⁿ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1/(1 − 1/2) = 2.

(2)	Es gilt ∑_n (− 1/3)ⁿ = 1 − 1/3 + 1/9 − 1/27 + … = 1/(1 + 1/3)) = 3/4.

(3)	Es gilt ∑_n 1ⁿ = 1 + 1 + 1 + … = ∞. Die Reihe ist divergent (sie konvergiert uneigentlich).

(4)	Die Reihe ∑_n (−1)ⁿ = 1 − 1 + 1 − 1 + … ist divergent.

Sei q  ∈  ] −1, 1 [. Starten wir die Summation mit dem Index 1, so erhalten wir

∑_n ≥ 1 qⁿ = ∑_n ≥ 0 qⁿ − q⁰ = ¹_1 − q − 1 = ^{1 − (1 − q)}_1 − q = ^q_1 − q.

Für q = a/b mit b ≠ 0 und |a/b| < 1 gilt

∑_n ≥ 0 (a/b)ⁿ = ¹_1 − a/b = ^b_b − a, ∑_n ≥ 1 (a/b)ⁿ = ^a/b_1 − a/b = ^a_b − a.

Die ersten Summanden (blau) und Partialsummen (gelb) der geometrischen Reihe ∑_n qⁿ für q = 4/5. Der Wert der Reihe ist 1/(1 − 4/5) = 5.

Die ersten Summanden und Partialsummen der geometrischen Reihe ∑_n qⁿ für q = −4/5. Der Wert der Reihe ist 1/(1 + 4/5) = 5/9.