Die Exponentialreihen
Zu den wichtigsten Reihen der Analysis gehören:
Definition (Exponentialreihen)
Sei x ∈ ℝ. Dann heißt die Reihe ∑n xn/n! die Exponentialreihe für x.
Satz (Konvergenz der Exponentialreihen)
Sei x ∈ ℝ. Dann konvergiert ∑n xn/n! gegen exp(x).
Beweis
Sei n0 ∈ ℕ mit n0 ≥ 2|x|. Dann gilt
|xn + 1/(n + 1)!xn/n!| = |x|n + 1 ≤ 12 für alle n ≥ n0.
Damit konvergiert die Exponentialreihe für x nach dem Quotientenkriterium (mit q = 1/2).
Der Nachweis der Übereinstimmung mit exp(x) hängt davon ab, wie die Exponentialfunktion eingeführt wird. Oft wird exp(x) durch die Reihe ∑n xn/n! definiert, sodass nichts weiter zu zeigen ist. Alle Eigenschaften der Exponentialfunktion werden dann aus der Exponentialreihe gewonnen.
Für alle x ∈ ℝ gilt also
exp(x) = ex = ∑n xnn! = 1 + x + x22 + x36 + … + xnn! + …
Die Konvergenz ist sehr schnell, sodass sich die Reihen zur effektiven numerischen Berechnung der Exponentialfunktion eignen.
Berechnung der Eulerschen Zahl
Für x = 1 erhalten wir
e = exp(1) = ∑n 1n! = 1 + 1 + 12 + 16 + … + 1n! + …
Die ersten Partialsummen für e sind
1, 2, 5/2, 8/3, 65/24, 163/60, 1957/720, 685/252, 109601/40320
In gerundeten Dezimalzahlen erhalten wir
1; 2; 2,5; 2,66667; 2,70833; 2,71667; 2,71806; 2,71825; 2,71828
Genauer gilt
e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369996…
Die ersten Summanden und Partialsummen der Exponentialreihe
∑n 1n! = 1 + 1 + 12 + 16 + … + 1n! + …
Der Wert der Reihe ist die Eulersche Zahl e = exp(1).
Auch die Folge (xn)n ≥ 1 mit
xn = (1 + 1n)n für alle n ≥ 1
konvergiert gegen die Eulersche Zahl e. Die Konvergenz ist deutlich langsamer, sodass die Exponentialreihe für numerische Berechnungen bevorzugt wird.