Übungen

Übung 1

Sei ∑n xn eine konvergente unendliche Reihe. Zeigen Sie, dass die Summanden eine Nullfolge bilden, d. h. es gilt

limn xn  =  0.

Übung 2

Zeigen Sie, dass für alle z  ∈  ℂ mit z ≠ 1 und alle n  ∈  ℕ gilt:

∑0 ≤ k ≤ n zk  =  1 − zn + 11 − z.

Übung 3

Wir betrachten die Reihe  ∑n ≥ 1 1n(n + 1).

(a)

Berechnen Sie die Partialsummen s1, …, s4 der Reihe.

(b)

Formulieren Sie eine allgemeine Formel für die Partialsummen sn der Reihe.

(c)

Beweisen Sie Ihre Formel durch Induktion.

(d)

Bestimmen Sie den Wert der Reihe.

Übung 4

Welche der folgenden Implikationen gelten für alle reellen unendlichen Reihen ∑n ≥ 1 xn? Begründen Sie Ihre Antworten.

(a)

Gilt xn > 0 für alle n ≥ 1, so gilt ∑n ≥ 1 xn = ∞.

(b)

Gilt xn ≥ 1/n für alle n ≥ 1, so gilt ∑n ≥ 1 xn = ∞.