Der Zwischenwertsatz

Satz (Zwischenwertsatz)

Sei f : [ a, b ] → ℝ stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an.

Um diesen Satz zu beweisen, genügt es zu zeigen:

Satz (Nullstellensatz)

Sei g : [ a, b ] → ℝ stetig und g(a) und g(b) haben verschiedene Vorzeichen, d. h. sgn(g(a)) ≠ sgn(g(b)). Dann besitzt g eine Nullstelle.

Beweis des Zwischenwertsatzes mit Hilfe des Nullstellensatzes

Sei c eine reelle Zahl zwischen f (a) und f (b). Weiter sei g : [ a, b ] → ℝ die Funktion mit g(x) = f (x) − c für alle x. Dann ist g stetig und g(a) und g(b) haben verschiedene Vorzeichen. Nach dem Nullstellensatz gibt es ein x mit g(x) = 0. Dann gilt f (x) = g(x) + c = 0 + c = c, sodass die Funktion f den Wert c annimmt.

Der Nullstellensatz lässt sich durch Intervallschachtelung elegant beweisen:

Beweis des Nullstellensatzes

Ein Teilintervall [ c, d ] von [ a, b ] heißt gut (für diesen Beweis), falls g(c) und g(d) verschiedene Vorzeichen haben. Wir konstruieren eine Intervallschachtelung I₀ ⊇ I₁ ⊇ I₂ ⊇ … ⊇ I_n ⊇ … guter Intervalle rekursiv wie folgt:

Zunächst sei I₀ = [ a, b ]. Im Rekursionsschritt von n nach n + 1 halbieren wir das Intervall I_n in zwei gleichlange Teilintervalle J₁ und J₂. Ist J₁ gut, so setzen wir I_n + 1 = J₁. Andernfalls ist J₂ gut und wir setzen I_n + 1 = J₂.

Sei p das eindeutige Element im Durchschnitt aller Intervalle I_n. Weiter seien (x_n)_n ∈ ℕ und (y_n)_n ∈ ℕ die Folgen der linken bzw. rechten Intervallgrenzen. Dann gilt lim_n x_n = lim_n y_n = p. Da g an der Stelle p stetig ist, gilt

(+) lim_n g(x_n) = g(p) = lim_n g(y_n).

Da alle Intervalle gut sind, haben g(x_n) und g(y_n) für alle n verschiedene Vorzeichen. Damit gilt g(p) = 0 in (+) (denn im Fall g(p) ≠ 0 hätten alle g(x_n), g(y_n) ab einem Index n₀ das gleiche Vorzeichen). Also ist p eine Nullstelle von g.

Bisektionsverfahren zur approximativen Nullstellenberechnung

Aus dem Beweis gewinnen wir ein effektives Berechnungsverfahren: Zunächst wissen wir, dass eine Nullstelle in [ a, b ] existiert. Nach n Bisektionen des Intervalls haben wir ein Intervall I_n gefunden, das eine Nullstelle enthält. Die Länge dieses Intervalls ist (b − a)/2ⁿ. Damit können wir bereits nach wenigen Schritten eine Nullstelle sehr gut eingrenzen.

Beispiel

Wir betrachten die stetige Funktion f : [ 0, 1 ] → ℝ mit

f (x) = sin(5x) + 1/3 cos(18x) + 1/10 für alle x  ∈  [ 0, 1 ].

Es gilt f (0) > 0 und f (1) < 0, sodass f eine Nullstelle besitzt.

Approximation einer Nullstelle mit Hilfe des Bisektionsverfahrens

Das Bisektionsverfahren liefert ausgehend von I₀ = [ 0, 1 ] die Intervalle

I₁ = [ 1/2, 1 ]	I₂ = [ 1/2, 3/4 ]
I₃ = [ 5/8, 3/4 ]	I₄ = [ 11/16, 3/4 ]
I₅ = [ 11/16, 23/32 ]	I₆ = [ 45/64, 23/32 ]
I₇ = [ 91/128, 23/32 ]	I₈ = [ 91/128, 183/256 ]
I₉ = [ 365/512, 183/256 ]	I₁₀ = [ 731/1024, 183/256 ]

An den Intervallgrenzen hat die Funktion jeweils unterschiedliche Vorzeichen. Mit gerundeten Werten gilt

f (731/1024) = 0,00523332 f (183/256) = −0,000891473

Nach 20 Bisektionen erhalten wir

I₂₀ = [ a₂₀, b₂₀ ] = [ 749419/1048576, 187355/262144 ]

und die gerundeten Werte

f (a₂₀) = 5,24154 · 10⁻⁶, f (b₂₀) = −7,7043 · 10⁻⁷.

Als Anwendung des Zwischenwertsatzes zeigen wir noch:

Satz (stetige Injektionen auf Intervallen)

Sei I ein reelles Intervall, und sei f : I → ℝ stetig und injektiv. Dann ist f streng monoton steigend oder streng monoton fallend.

Beweis

Annahme nicht. Dann gibt es (wie leicht nachzuweisen ist) aufgrund der Injektivität von f drei Stellen a < b < c in I mit

f (a) < f (b) und f (b) > f (c) oder f (a) > f (b) und f (b) < f (c).

Wir nehmen den ersten Fall an (der zweite Fall ist analog). Nach dem Zwischenwertsatz gilt:

(i)	f\|[ a, b ] nimmt jeden Wert in [ f (a), f (b) ] an.

(ii)	f\|[ b, c ] nimmt jeden Wert in [ f (c), f (b) ] an.

Sei y = max(f (a), f (c)). Dann gilt

y  ∈  [ f (a), f (b)[ und y  ∈  [ f (c), f (b) [.

Nach (i) und (ii) wird der Wert y von f sowohl in [ a, b [ als auch in ] b, c ] angenommen, im Widerspruch zur Injektivität von f.

Die Voraussetzungen an den Definitionsbereich und die Stetigkeit sind wesentlich:

Beispiele

(1)	Sei f : [ 0, 1 ] ∪ [ 2,  3 ] → ℝ definiert durch $f (x) = { \begin{matrix} x & falls x \in [0, 1] \\ - x & falls x \in [2, 3] \end{matrix}$ Dann ist f stetig und injektiv, aber nicht streng monoton. Der Definitionsbereich ist kein Intervall.

(2)	Sei f : [ 0, 2 ] → ℝ definiert durch $f (x) = { \begin{matrix} x & falls x \in [0, 1] \\ - x & falls x \in] 1, 2] \end{matrix}$ Dann ist f auf einem Intervall definiert und injektiv, aber nicht streng monoton. Die Funktion ist nicht stetig.

Zur Umkehrung: Eine streng monotone reelle Funktion f : P → ℝ ist stets injektiv. Der Definitionsbereich P ist aber im Allgemeinen kein Intervall, und f ist im Allgemeinen nicht stetig.