Der Extremwertsatz

Satz (Extremwertsatz von Weierstraß)

Sei f : [ a, b ] → ℝ stetig. Dann nimmt die Funktion f ihr Maximum an, d. h. es es gibt ein p  ∈  [ a, b ] mit

f (x) ≤ f (p) für alle x  ∈  [ a, b ].

Analog nimmt f ihr Minimum an.

Der Satz ist etwas schwieriger zu beweisen als der Zwischenwertsatz. Nützlich hierzu ist folgender für sich interessante Satz:

Satz (Existenz konvergenter Teilfolgen, Satz von Bolzano-Weierstraß)

Jede beschränkte Folge (x_n)_n ∈ ℕ in ℝ besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis

Da die Folge beschränkt ist, gibt es ein Intervall [ a, b ], das alle Folgenglieder enthält. Wir bilden eine Intervallschachtelung, indem wir das Intervall wiederholt in zwei gleichlange Teile teilen und dabei immer einen Teil wählen, der immer noch unendlich viele Folgenglieder enthält. Nun konstruieren wir eine Teilfolge der Folge derart, dass für alle n das n-te Glied dieser Teilfolge im n-ten konstruierten Intervall liegt. Dann konvergiert diese Teilfolge gegen den eindeutigen Punkt im Durchschnitt der Intervalle.

Damit können wir den Extremwertsatz zeigen:

Beweis des Extremwertsatzes

Wir zeigen, dass das Maximum angenommen wird. Der Beweis für das Minimum ist analog (oder ergibt sich durch Betrachtung von −f). Wir setzen

s = sup({ f (x) | x  ∈  [ a, b ] }) ≤ ∞.

Dann gibt es eine monoton steigende Folge (f (x_n))_{n  ∈  ℕ} von Funktionswerten, die gegen s konvergiert. Die Folge (x_n)_n ∈ ℕ der Stellen ist eine Folge in [ a, b ]. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es eine konvergente Teilfolge (y_n)_n ∈ ℕ von (x_n)_n ∈ ℕ. Sei p = lim_n y_n. Dann gilt p  ∈  [ a, b ] und

s = lim_n f (y_n) = f(lim_n y_n) = f (p).

Damit ist s < ∞ und f nimmt ihr Maximum an der Stelle p an.

Der Beweis des Satzes führt nicht unmittelbar zu einem Berechnungsverfahren. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie wir − unter stärkeren Voraussetzungen an die Funktion − Maxima und Minima mit Methoden der Differentialrechnung bestimmen können.