Differentialquotienten

Definition (Differentialquotient, Ableitung, Differenzierbarkeit)

Sei f : P → ℝ, und sei p  ∈  P. Existiert

a = lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p  ∈  ℝ,

so heißt f differenzierbar an der Stelle p und a die Ableitung oder der Differentialquotient von f an der Stelle p.

Wir betrachten drei Aspekte genauer.

1. Differenzenquotienten und Sekanten

Ist x  ∈  P mit x ≠ p, so heißt

a(x, p) = ^{f (x) − f (p)}_x − p

der Differenzenquotient von f an den Stellen p, x. Dieser Wert ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte (p, f (p)) und (x, f (x)) verläuft. Diese Gerade heißt die durch p und x definierte Sekante von f.

2. Grenzübergang zu Differentialquotienten

Im Fall der Existenz ist die Ableitung von f an der Stelle p der Grenzwert der Differenzenquotienten:

a = lim_x → p a(x, p)

Anschaulich lässt sich a als die Steigung von f an der Stelle p deuten. Der Differenzenquotient a(x, p) ist als Funktion in x an der Stelle p nicht definiert. Hier verwenden wir, dass in lim_x → p a(x, p) die Stelle p nicht im Definitionsbereich liegen muss. Die Differenzierbarkeit besagt, dass sich a(x, p) stetig im Punkt p fortsetzen lässt (durch die Setzung a(p, p) = a).

3. Stetigkeit ist notwendig, aber nicht hinreichend für Differenzierbarkeit

Der Nenner x − p in

lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p

konvergiert gegen 0. Damit der Grenzwert in ℝ existiert, ist es notwendig, dass der Zähler gegen 0 konvergiert. Also muss

lim_x → p f (x) = f (p)

gelten, d. h. f muss stetig in p sein. Der Grenzwert lim_a → p a(x, p) ist vom Typ „0/0“, sodass seine Existenz nicht selbstverständlich ist. Die Betragsfunktion ist z. B. stetig, aber nicht differenzierbar bei 0 (vgl. die Übungen).

Eine Funktion f und drei Sekanten g₁, g₂, g₃. Die Sekanten sind durch die Stellenpaare (p, x₁), (p, x₂) und (p, x₃) bestimmt. Ihre Steigungen sind die Differenzenquotienten

a(x_i, p) = ^{f (x_i) − f (p)}_{x_i − p} für i = 1, 2, 3.

Es gilt g_i(x) = f (p) + a(x_i, p) (x − p) für alle x  ∈  ℝ und i = 1, 2, 3.

Durch einen Grenzübergang gehen die Sekanten von f durch p in die Tangente g von f an der Stelle p über. Die Tangente hat die Steigung

a = lim_x → p a(x, p) = lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p (Ableitung von f an der Stelle p).

Es gilt g(x) = f (p) + a (x − p) für alle x  ∈  ℝ.

Notationen für die Ableitung

Sei f : P → ℝ differenzierbar in p  ∈  P. Dann schreiben wir

f ′(p) = Df (p) = ${\frac{d}{dx} f (x)|}_{x = p}$ = ${\frac{df (x)}{dx}|}_{x = p}$ = ^df (x)_dx (p)

für die Ableitung von f an der Stelle p. Die Notation df (x)/dx ist eine „infinitesimale Version“ der Delta-Notation Δf (x)/Δx für Differenzenquotienten: Änderung der Werte geteilt durch Änderung der Stellen. Die Notation ist in ℝ rein symbolisch, df (x)/dx ist kein Quotient zweier Elemente von ℝ.

Beispiele

(1)	Sei f : ℝ → ℝ eine konstante Funktion mit konstantem Wert c  ∈  ℝ. Weiter sei p  ∈  ℝ. Dann gilt f ′(p) = lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p = lim_x → p ^c − c_x − p = lim_x → p 0 = 0.

(2)	Für die Identität id : ℝ → ℝ mit id(x) = x und p  ∈  ℝ gilt: id′(p) = lim_x → p ^{id(x) − id(p)}_x − p = lim_x → p ^x − p_x − p = lim_x → p 1 = 1.

(3)	Für die Einheitsparabel sq : ℝ → ℝ mit sq(x) = x² und p  ∈  ℝ gilt: sq′(p) = lim_x → p ^{sq(x) − sq(p)}_x − p = lim_x → p ^{x² − p²}_x − p = lim_x → p ^{(x + p)(x − p)}_x − p = lim_x → p (x + p) = 2p.

Äquivalente h-Formulierung des Grenzwerts

Setzen wir h = x − p, so gilt x = h + p und „x → p“ ist äquivalent zu „h → 0“. Damit erhalten wir

f ′(p) = lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p = lim_h → 0 ^{f (p + h) − f (p)}_h.

Welche Form besser ist, ist kontextabhängig und oft Geschmackssache.

Beispiel

Für die Einheitsparabel und p  ∈  ℝ lautet die Berechnung der Ableitung mit Hilfe der der h-Formulierung:

sq′(p)	= lim_h → 0 ^{sq(p + h) − sq(p)}_h = lim_h → 0 ^{(p + h)² − p²}_h
	= lim_h → 0 ^{p² + 2ph + h² − p²}_h = lim_h → 0 (2p + h) = 2p.