Tangenten und lineare Approximation

Definition (Tangente)

Sei f : P → ℝ differenzierbar in p  ∈  P. Dann heißt die Gerade g : ℝ → ℝ mit

g(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) für alle x  ∈  ℝ

die Tangente von f an der Stelle p.

Die Zahl a = f ′(p) können wir als „Kürzel“ oder „Code“ für die Tangente von f an der Stelle p ansehen.

Grundidee der Differentialrechnung

Ersetze eine Funktion f lokal durch eine einfachere Funktion.

Die einfachste Approximation ist, f durch die konstante Funktion f (p) zu ersetzen. Dies ist aber in der Regel zu ungenau. Eine Tangente ist deutlich besser. Die Güte der Approximation beschreibt:

Satz (linearer Approximationssatz)

Sei f : P → ℝ differenzierbar an der Stelle p mit Tangente g : ℝ → ℝ. Weiter sei r : P → ℝ mit r(x) = f (x) − g(x) für alle x  ∈  P. Dann gilt:

(1)	f (x) = g(x) + r(x) für alle x  ∈  P.

(2)	lim_x → p ^r(x)_x − p = 0.

Beweis

Aussage (1) gilt nach Definition der Restfunktion r. Für (2) berechnen wir:

lim_x → p ^r(x)_x − p	= lim_x → p ^{f (x) − (f (p) + f ′(p)(x − p))}_x − p
	= lim_x → p ^{f (x) − f (p)}_x − p − f ′(p) = f ′(p) − f ′(p) = 0.

Der Satz kann lässt sich so interpretieren:

Tangente plus kleiner Rest

In der Nähe von p ist f ihre Tangente plus ein kleiner Rest. Die Restfunktion r(x) konvergiert schneller als linear gegen 0, wenn x gegen p konvergiert (Aussage (2) des Satzes). Wir schreiben auch

f (x) = g(x) + o(x − p) für x → p(Landau-Notation)

wobei der symbolische Term o(x − p) für den „kleinen Rest“ wie im Satz steht, also für eine Funktion r : P → ℝ mit lim_x → p r(x)/(x − p) = 0.

Illustration des linearen Approximationssatzes

Das Diagramm zeigt eine Funktion f und ihre Tangente g an einer Stelle p:

(1) g(x) = f (p) + f ′(p) (x − p) für alle x  ∈  ℝ.

Weiter ist die Differenz- oder Restfunktion r = f − g eingezeichnet:

(2) r(x) = f (x) − f (p) − f ′(p) (x − p) für alle x  ∈  ℝ.

Die Funktion r gibt den Fehler an, der entsteht, wenn wir die Funktion f durch ihre Tangente g an der Stelle p ersetzen. Der Fehler ist in der Nähe von p klein. Die Restfunktion r konvergiert schneller als linear gegen 0, wenn x gegen p strebt:

(3) lim_x → p ^r(x)_x − p = 0.

Im Diagramm ist der Quotient r(x)/(x − p) gestrichelt wiedergegeben. Kompakt wird all dies in der symbolischen Notation

f (x) = g(x) + o(x − p) für x → p (klein-o-Notation, Landau-Notation)

zusammengefasst. Das „klein o“ steht hier für den „kleinen Rest“ r. In der Nähe von p ist f ihre Tangente plus ein kontrolliert kleiner Rest.