Die Ableitung als Funktion
Bislang haben wir die Ableitung einer Funktion lokal betrachtet. Nun fassen wir alle Ableitungen zu einer Funktion zusammen.
Definition (Differenzierbarkeit, erste und zweite Ableitung)
Eine Funktion f : P → ℝ heißt differenzierbar, wenn f an allen Stellen p ∈ P differenzierbar ist. In diesem Fall heißt f ′ : P → ℝ die erste Ableitung von f. Ist f ′ stetig, so heißt f stetig differenzierbar. Ist f ′ differenzierbar, so heißt f ″ : P → ℝ mit f ″ = (f ′)′ die zweite Ableitung von f.
Interpretation der ersten und zweiten Ableitung
(1) | Die erste Ableitung gibt an jeder Stelle die Steigung von f an. |
(2) | Die zweite Ableitung ist ein Maß für die Krümmung von f, entspricht ihr aber nicht direkt. Die Funktion x2 hat beispielsweise eine konstante zweite Ableitung, aber keine konstante Krümmung. Es gilt: Ist f ″ positiv, so ist f linksgekrümmt (wie x2), andernfalls ist f rechtsgekrümmt (wie −x2). |
(3) | Unter einer physikalischen Interpretation, bei der wir eine zeitliche Variable t betrachten, gilt: f ′(t) ist die Geschwindigkeit eines sich gemäß f (t) auf der x-Achse bewegenden Teilchens zur Zeit t. Weiter ist f ″(t) seine Beschleunigung zur Zeit t. |
Der anschauliche Krümmungsbegriff lässt sich leicht präzisieren: Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f : I → ℝ heißt linksgekrümmt oder konvex, falls f zwischen je zwei Stellen unterhalb der durch die Stellen definierten Geraden liegt. Weiter heißt f rechtsgekrümmt oder konkav, falls −f linksgekrümmt ist. Die Funktion x2 und ex sind konvex, die Funktionen und log(x) dagegen konkav. Die Sinusfunktion ist konkav auf [ 0, π ] und konvex auf [ π, 2π ].
Definition (höhere Ableitungen, glatt)
Sei f : P → ℝ. Wir setzen f (0) = f und definieren rekursiv solange möglich die höheren Ableitungen von f durch
f (n + 1) = (f (n))′ für alle n ∈ ℕ.
Existiert die n-te Ableitung f (n) für alle n ∈ ℕ, so heißt f glatt.
Die Ableitungsfolge von f lautet also
f (0) = f, f ′ = f (1), f ″ = f (2), f ″′ = f (3), …, f (n), …
Die runden Klammern unterscheiden die Ableitung von der Potenz.
Unter der physikalischen Interpretation können wir die dritte Ableitung f (3)(t) als „Ruck“ interpretieren (lokale Änderung der Beschleunigung).