Komplexe Differenzierbarkeit
Die Differenzierbarkeit lässt sich auf komplexe Funktionen erweitern. Hierzu betrachten wir (wie für die Stetigkeit) eine Funktion f : P → ℂ mit P ⊆ ℂ.
Grenzwerte für komplexe Funktionen
Seien f : P → ℂ und a, p ∈ ℂ. Dann bedeutet
limz → p f (z) = a,
dass:
(1) | Es gibt eine Folge (zn)n ∈ ℕ in P mit limn zn = p. |
(2) | Für jede Folge (zn)n ∈ ℕ in P mit limn zn = p gilt limn f (zn) = a. |
Erneut lassen wir auch die symbolische Stelle p = ∞ und den symbolischen Wert a = ∞ zu.
Komplexe Differenzierbarkeit
Seien f : P → ℂ und p ∈ P. Im Fall der Existenz von
f ′(p) = limz → p f (z) − f (p)z − p ∈ ℂ
heißt f (komplex) differenzierbar an der Stelle p. Weiter heißt die komplexe Zahl f ′(p) die Ableitung von f an der Stelle p.
Wir übernehmen die Sprechweisen und Notationen aus dem Reellen. Wie in den reellen Zahlen zeigt man (vgl. die Übungen), dass
ddz zn = n zn − 1 für alle n ≥ 1.
Speziell gilt
ddz 1 = 0, ddz z = 1, ddz z2 = 2 z