Die Ableitungsregeln
Satz (Ableitungsregeln)
Seien f, g differenzierbare reelle Funktionen. Weiter seien a, b ∈ ℝ. Dann sind auch die Funktionen a f + b g, f g, f/g, g ∘ f, f −1 differenzierbar, sofern sie definiert sind. Für die Ableitungen gilt an allen Stellen x des zugehörigen Definitionsbereichs:
(a) | (a f + b g)′(x) = a f ′(x) + b g′(x)(Linearität) |
(b) | (f g)′(x) = f ′(x) g(x) + f (x) g′(x) (Produktregel) |
(c) | (f/g)′(x) = f ′(x) g(x) − g′(x) f (x)g2(x)(Quotientenregel) |
(d) | (g ∘ f)′(x) = g′(f (x)) · f ′(x) (Kettenregel) |
(e) | (f −1)′(f (x)) = 1f ′(x), falls f ′(x) ≠ 0(Ableitung der Umkehrfunktion) |
Die Regeln gelten analog für komplexe Funktionen.
Die Regeln lassen sich durch Berechnung der Differentialquotienten beweisen. Besonders elegant ist hier die Landau-Notation. Schreiben wir
f (x) = f (p) + f ′(p)(x − p) + o(x − p), g(x) = g(p) + g′(p)(x − p) + o(x − p)
für x → p, so zeigt ein Ausmultiplizieren des Produkts f (x) g(x), dass
f (x) g(x) = f (p) g(p) + (f ′(p) g(p) + f (p) g′(p))(x − p) + o(x − p) für x → p.
Dabei sind im kleinen Rest o(x − p) sechs der neun Summanden zusammengefasst. Aus dem zweiten Summanden können wir die Ableitung von fg an der Stelle p ablesen. In dieser Weise lässt sich die Form der Produktregel letztendlich sehr einfach durch das Distributivgesetz erklären.
Nachdifferenzieren in der Kettenregel
Die Multiplikation von g′(f (x)) mit f ′(x) nennen wir auch Nachdifferenzieren: Um g′(f (x)) zu berechnen setzen wir y = f (x) in die Ableitung g′(y) von g(y) ein. Anschließend multiplizieren wir mit f ′(x).
Beispiel
Nach der Kettenregel und Linearität gilt:
ddx (x2 + x + 1)3 = 3 (x2 + x + 1)2 ddx(x2 + x + 1) = 3(x2 + x + 1)2 (2x + 1).
Diese Argumentation erspart uns das Ausmultiplizieren von (x2 + x + 1)3.