Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen

 Mit Hilfe der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion können wir die Ableitung des Logarithmus log : ] 0, ∞ [ → ℝ bestimmen. Sei hierzu p > 0 beliebig. Dann gibt es ein eindeutiges q mit p = exp(q). Wegen log = exp⁻¹ gilt

log′(p)  =  log′(exp(q))  =  ¹_exp′(q)  =  ¹_exp(q)  =  ¹_p.

Als Ableitungsfunktion des Logarithmus log zur Basis e ergibt sich also der rechte Ast der Einheitshyperbel:

^d_dx log(x)  =  ¹_x  auf  ] 0, ∞ [.

Es ist bemerkenswert, dass der Logarithmus eine rationale Funktion als Ableitung besitzt.

Beliebige positive Basen

 Um die Ableitung einer Exponentialfunktion zu einer beliebigen Basis a > 0 zu bestimmen, verwenden wir die Darstellung

a^x  =  e^{x log(a)}  =  exp(x log(a))  für alle x  ∈  ℝ.

Nach der Kettenregel gilt auf ganz ℝ:

Für einen allgemeinen Logarithmus log_a ergibt sich wie oben für log, dass

^d_dx log_a(x)  =  ¹_{log(a) x}.

Potenzfunktionen

 Für eine Potenzfunktion der Form x^a mit x  ∈  ] 0, ∞ [ und einem beliebigen reellen Exponenten a erhalten wir

^d_dx x^a  =  ^d_dx exp(a log(x))  =  exp(a log(x)) ^d_dxa log(x)  =  x^{a a}_x  =  a x^a − 1.

Dies verallgemeinert die Ableitungsregel d/dx xⁿ = n x^n − 1 für Monome vom Grad n ≥ 1. Weiter ergibt sich ohne Mühe auch

^d_dx $\sqrt{\mathrm{x}}$  =  ^d_dx x^1/2  =  ¹₂ x^−1/2  =  $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$.