Ableitung von Kosinus und Sinus
Die Differentialquotienten des Kosinus und Sinus sind nicht leicht zu berechnen. Wir betrachten drei Zugänge.
Betrachtung der Funktionsgraphen (Heuristik)
Die Kosinusfunktion besitzt Hoch- und Tiefpunkte bei allen ganzzahligen Vielfachen von π, sodass cos′(kπ) = 0 für alle k ∈ ℤ. Damit kommen Funktionen der Form c sin(x) als Ableitung des Kosinus in Frage. Ein Blick auf den graphischen Verlauf legt c = −1 nahe, sodass wir die Hypothese cos′ = −sin aufstellen. Zusammen mit den Formeln
sin(x) = cos(π/2 − x), cos(x) = sin(π/2 − x)
folgt, dass
ddx sin(x) = ddxcos(π/2 − x) = − sin(π/2 − x) · (−1) = sin(π/2 − x) = cos(x).
Dynamische Argumentation
Ein Punkt, der sich auf dem Einheitskreis K gegen den Uhrzeigersinn mit Start bei (1, 0) und Winkelgeschwindigkeit 1 bewegt, hat zur Zeit t die Koordinaten P(t) = (cos(t), sin(t)). Der Vektor P′(t) = (cos′(t), sin′(t)) ist die Geschwindigkeit des Punktes zur Zeit t. Er hat die Länge 1 und liegt tangential an K, sodass er der um π/2 gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Vektor P(t) ist. Da (x, y) bei einer π/2-Drehung zu (−y, x) wird, erhalten wir
(cos′(t), sin′(t)) = (− sin′(t), cos(t)) für alle t ∈ ℝ.
Ein Koordinatenvergleich zeigt, dass cos′ = − sin und sin′ = cos.
Beweis mit Hilfe des Additionstheorems
Die obigen Argumentationen, so überzeugend sie auch sein mögen, ersetzen keinen Beweis. Ein solcher kann in zwei Schritten erfolgen:
1. Schritt: Ableitung des Sinus im Nullpunkt
Wir zeigen, dass limx↓ 0 sin(x)/x = 1. Hierzu weisen wir die geometrische Anschauung nach, dass sich sin(x) von der Bogenlänge x für kleine positive Winkel x kaum unterscheidet. Damit gilt limx ↓ 0 sin(0 + h)/h = 1. Aus sin(−x) = −sin(x) gewinnen wir hieraus sin′(0) = 1.
2. Schritt: Ableitung des Sinus an einer beliebigen Stelle
Für alle x,y ∈ ℝ gilt sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(y) sin(x) (Additionstheorem). Damit und mit sin′(0) = 1 lässt sich der Differentialquotient
sin′(x) = limh → 0 (sin(x + h) − sin(x))/h = cos(x)
berechnen. Durch eine π/2-Verschiebung wie oben folgt cos′ = − sin.
Die Ableitungen cos′ = −sin und sin′ = cos lassen sich aus dem Verlauf raten
Dynamische Argumentation: Es gilt P(t) = v = (cos(t), sin(t)), w = (cos′(t), sin′(t)) (als Geschwindigkeitsvektor), w = (− sin(t), cos(t)) (als Drehung von w um π/2)
Für kleine x > 0 ist sin(x) ungefähr gleich x. Aus limx↓ 0 sin(x)/x = 1 erhalten wir sin′(0) = 1. Aus dem Additionstheorem lässt sich sin′(x) = cos(x) für alle x ∈ ℝ herleiten.