Ableitungen der elementaren Funktionen

Weitere Ableitungen erhalten wir mit Hilfe der Ableitungsregeln und trigonometrischer Formeln. Beispielsweise gilt für alle x  ∈  ] −1, 1 [:

^d_dx arcsin(x) = ¹_{sin′(arcsin(x))} = ¹_{cos(arcsin(x))} = $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

Neben der Regel (f ⁻¹)′(x) = 1/f ′(f ⁻¹(x)) für die Ableitung der Umkehrfunktion verwenden wir hier cos²(α) + sin²(α) = 1 für alle α (Satz des Pythagoras). Damit gilt für alle x  ∈  ] −1, 1 [

cos²(arcsin(x)) + sin²(arcsin(x)) = 1, sodass cos²(arcsin(x)) = 1 − x² > 0.

Wurzelziehen liefert die Ableitungsformel für den Arkussinus.

Wir stellen Basisableitungen zusammen. Zusammen mit den Ableitungsregeln erhalten wir wie gewünscht einen Kalkül, mit dem wir die Ableitung einer beliebigen als Term vorliegenden elementaren Funktion berechnen können.

^d_dx a^x = log(a) a^x	^d_dx x^a = a x^a − 1
^d_dx log_a(x) = ¹_{x log(a)}	^d_dx log_x(a) = − ^log_x(a)_{x log(x)}
^d_dx sin(x) = cos(x)	^d_dx cos(x) = − sin(x)
^d_dx tan(x) = ¹_cos²(x)	^d_dx cot(x) = − ¹_sin²(x)
^d_dx arcsin(x) = $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	^d_dx arccos(x) = − $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
^d_dx arctan(x) = ¹_1 + x²	^d_dx arccot(x) = − ¹_1 + x²

Genau die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen, die mit „c“ beginnen, haben (in der obigen Form) ein negatives Vorzeichen.