Lösungen zu den Übungen

Übung 1

Berechnen Sie die folgenden Ableitungen:

(1)	d/dx log(log(x))

(2)	d/dx log(\|x\|)

(3)

d/dx x^x

Geben Sie zudem jeweils an, für welche x  ∈  ℝ die Ableitungen gelten.

Lösung zur Übung 1

zu (a):

Die Funktion log(log(x)) ist auf ] 1, ∞ [ definiert und dort nach der Kettenregel differenzierbar. Für alle x > 1 gilt

^d_dx log(log(x)) = ¹_log(x) ^d_dx log(x) = ¹_{x log(x)}.

zu (b):

Die Funktion log(|x|) ist auf ℝ* definiert. Für x > 0 gilt log(|x|) = log(x) und für x < 0 gilt log(|x|) = log(− x). Damit erhalten wir

^d_dxlog(|x|) = ^d_dx log(x) = ¹_x für x > 0.

Nach der Kettenregel gilt

^d_dxlog(|x|) = ^d_dx log(− x) = ¹_− x (−1) = ¹_x für x < 0.

Damit gilt also d/dx log(|x|) = 1/x für alle x ≠ 0.

zu (c):

Es gilt

x^x = exp(x log(x)) für alle x > 0.

Nach der Ketten- und Produktregel gilt für alle x > 0:

^d_dx x^x	= ^d_dx exp(x log(x))
	= exp(x log(x)) ^d_dx(x log(x))
	= x^x (1 log(x) + x/x) = (log(x) + 1) x^x.

Übung 2

(a)	Zeigen Sie, dass cos²(arctan(x)) = ¹_1 + x² für alle x  ∈  ℝ.

(b)	Berechnen Sie die Ableitungen arctan′, arctan″ und arctan⁽³⁾. Verwenden Sie dabei die Ableitung tan′(x) = 1/cos²(x), Teilaufgabe (a) und die Ableitungsregeln.

(c)	Skizzieren Sie arctan, arctan′ und arctan″ in einem Diagramm.

Lösung zur Übung 2

zu (a):

Sei x  ∈  ℝ. Wir setzen y = arctan(x). Dann gilt x = tan(y) und

x² = tan²(y) = ^sin²(y)_cos²(y) = ^{1 − cos²(y)}_cos²(y) = ¹_cos²(y) − 1.

Umformen liefert

cos²(y) = ¹_1 + x².

Mit y = arctan(x) ergibt sich die Behauptung.

zu (b):

Die Ableitungsregel für die Umkehrfunktion, tan′ = 1/cos² und Teil (a) liefern, dass für alle x  ∈  ℝ gilt:

arctan′(x) = ¹_{tan′(arctan(x))} = cos²(arctan(x)) = ¹_1 + x².

Die weiteren Ableitungen können wir mit Hilfe der Ableitungsregeln berechnen. Wir erhalten:

arctan″(x) = ^d_dx (1 + x²)⁻¹ = − (1 + x²)⁻² 2x = − ^2x_{(1 + x²)²}

arctan⁽³⁾(x)	= − ^d_dx ^2x_{(1 + x²)²}
	= − ^{2(1 + x²)² − 2x (2(1 + x²) 2x)}_{(1 + x²)⁴}
	= ^6x² − 2_{(1 + x²)³}

zu (c):

Der Arkustangens und seine beiden ersten Ableitungen

Übung 3

Zeigen Sie die Ableitungsregel

^d_dx xⁿ = n x^n − 1 für alle n ≥ 1

durch vollständige Induktion und Verwendung der Produktregel.

Lösung zur Übung 3

Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach n ≥ 1.

Induktionsanfang n = 1:

Es gilt

^d_dx x = 1 = x⁰ = 1 · x^1 − 1.

Induktionsschritt von n nach n + 1:

Es gelte

^d_dx xⁿ = n x^n − 1 (Induktionsvoraussetzung).

Dann gilt nach der Produktregel

^d_dx x^n + 1	= ^d_dx (xⁿ x)
	= (^d_dx xⁿ) x + xⁿ ^d_dx x
	=_I.V. n x^n − 1 x + xⁿ 1
	= n xⁿ + xⁿ
	= (n + 1) xⁿ.

Bemerkung

Die Differenzierbarkeit der Monome xⁿ für n ≥ 2 wird hier nicht vorausgesetzt, sondern mit bewiesen. Denn nach der Produktregel ist mit f und g auch das Produkt f g differenzierbar. Damit folgt aus der Differenzierbarkeit von xⁿ und x die Differenzierbarkeit von x^n + 1 für alle n ≥ 1. Die Differenzierbarkeit von x wird als bekannt vorausgesetzt.

Übung 4

Zeigen Sie die Ableitungsregel

^d_dx $\sqrt{x}$ = $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

mit Hilfe der Produktregel. Dabei dürfen Sie die Differenzierbarkeit der Wurzelfunktion auf ] 0, ∞ [ voraussetzen.

Lösung zur Übung 4

Es gilt

x = $\sqrt{x}$ $\sqrt{x}$ für alle x > 0.

Nach der Produktregel gilt also

1	= ^d_dx x
	= ^d_dx ( $\sqrt{x}$ $\sqrt{x}$ )
	= (^d_dx $\sqrt{x}$ ) $\sqrt{x}$ + $\sqrt{x}$ ^d_dx $\sqrt{x}$
	= 2 $\sqrt{x}$ ^d_dx $\sqrt{x}$ .

Division durch 2  $\sqrt{x}$ zeigt die Behauptung.

Bemerkung

Diese Argumentation liefert diesmal nur die Formel für die Ableitung der Wurzelfunktion. Die Differenzierbarkeit der Wurzelfunktion auf ] 0, ∞ [ muss bereits bekannt sein, damit wir die Produktregel auf das Produkt $\sqrt{x}$ $\sqrt{x}$ anwenden können.