Darstellung der gesamten Funktion als Taylor-Reihe
Die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion
Für alle n ≥ 0 gilt exp(n)(0) = exp(0) = 1. Damit gilt für alle x ∈ ℝ:
T0 exp (x) = ∑n 1n! (x − 0)n = ∑n xnn! = exp(x)
Die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion im Punkt 0 ist also identisch mit der Exponentialreihe. Auch für alle anderen Entwicklungspunkte ergibt sich die Exponentialfunktion. Für p = 1 gilt beispielsweise expn(1) = exp(1) = e für alle n und wir erhalten
T1 exp(x) = ∑n en! (x − 1)n = exp(x) für alle x ∈ ℝ.
Die Taylor-Reihen des Kosinus und Sinus
Die Ableitungsfolge (cos(n)(0))n ≥ 0 des Kosinus im Nullpunkt ist die periodische Folge 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, … Damit gilt für alle x ∈ ℝ:
T0 cos (x) = 1 − x22! + x44! ∓ … = ∑n (−1)n x2n(2n)!.
Analog gilt
T0 sin (x) = x − x33! + x55! ∓ … = ∑n (−1)n x2n + 1(2n + 1)!.
Man kann zeigen, dass diese Taylor-Reihen überall den Kosinus bzw. Sinus darstellen. Gleiches gilt für alle anderen Entwicklungspunkte.
Wir halten diese wichtigen Reihen, die sich zur effektiven Berechnung des Kosinus und Sinus eignen, explizit fest:
Satz (Kosinus-Reihe und Sinus-Reihe)
Für alle x ∈ ℝ gilt:
cos (x) = ∑n (−1)n x2n(2n)!(Kosinus-Reihe)
sin (x) = ∑n (−1)n x2n + 1(2n + 1)!((Sinus-Reihe)
Sowohl der Kosinus als auch der Sinus erfüllt die Differentialgleichung f ″ = − f. Es ist instruktiv, sich diese Eigenschaft durch gliedweises Differenzieren der Reihendarstellungen vor Augen zu führen, in Analogie zur Eigenschaft f ′ = f für die Exponentialreihe. Wir diskutieren dies in den Übungen.
Die Exponentialfunktion exp(x) und die Taylor-Polynome Tnp f (x) = fn(x) der Ordnungen n = 1, 2, 3, 4 im Entwicklungspunkt p = 0
Wie oben mit den Ordnungen n = 10, 15 und 20.
Die Kosinusfunktion und die Taylor-Polynome Tnp f (x) = fn(x) der Ordnungen n = 1, 3, 5, 7, 9, 11 im Entwicklungspunkt p = 0. Es gilt fn = fn + 1 für alle n ≥ 0.
Die Fehler cos(x) − fn(x) der Approximationen f1, …, f11 wie im obigen Diagramm
Die Kosinusfunktion und die Taylor-Polynome Tnp f (x) = fn(x) der Ordnungen i = 40 und 42. Hier werden mehrere Schwingungen mit einem winzigen Fehler approximiert, bis sich die Polynome relativ schnell von der Funktion verabschieden.
Noch höhere Ordnungen