Darstellung als Taylor-Reihe nur im Entwicklungspunkt

Wir betrachten zwei Extremfälle:

Das Gegenbeispiel von Cauchy

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch

$f (x) = { \begin{matrix} e^{- 1 / x^{2}} & falls x \neq 0, \\ 0 & falls x = 0. \end{matrix}$

Die Funktion ist im Nullpunkt extrem flach: Es gilt f ⁽ⁿ⁾(0) = 0 für alle n. Folglich ist T₀ f die Nullfunktion. Wir erhalten hier:

(1)	Die Taylor-Reihe von f konvergiert auf ganz ℝ.

(2)	Die Taylor-Reihe von f stimmt nur im Entwicklungspunkt mit f überein.

Die Funktion von Cauchy: Für p = 0 sind alle Taylor-Polynome f_n das Nullpolynom. Damit ist die Taylor-Reihe die überall konvergent Nullreihe. Sie stimmt nur im Entwicklungspunkt mit der Ausgangsfunktion überein.

Maximal divergente Taylor-Reihen

Der Satz von Peano-Borel besagt, dass es für jede Folge (c_n)_{n  ∈  ℕ} in ℝ eine glatte Funktion f : ℝ → ℝ gibt mit f ⁽ⁿ⁾(0) = c_n für alle n. Setzen wir zum Beispiel c_n = n!², so erhalten eine Funktion f : ℝ → ℝ mit der Taylor-Reihe T₀f (x) = ∑_n n! xⁿ. Hier gilt:

(1)	Die Taylor-Reihe von f konvergiert nur im Entwicklungspunkt.

(2)	Die Taylor-Reihe von f stimmt nur im Entwicklungspunkt mit f überein.

Der Versuch, eine glatte reelle Funktion als „unendliches Polynom“ darzustellen, gelingt oft, aber eben nicht immer! Allgemein kann man zeigen:

Konvergenzverhalten von Taylor-Reihen

(1)	Der Konvergenzbereich einer Taylor-Reihe ist ein Intervall um den Entwicklungspunkt p der Form ] p − r, p + r [ , [ p − r, r + r ], ] p − r, p + r ], [ p − r, p + r [ mit dem sogenannten Konvergenzradius r ≤ ∞. Im Fall r = ∞ ist K = ℝ. Der Extremfall K = [ p, p ] = { p } mit r = 0 ist möglich.

(2)

Hat f an einer Stelle x₀ eine Polstelle, so ist r ≤ |x₀ − p|. Gleiches gilt für Pole der Ableitungen. Eine Taylor-Reihe kann also keine „kritischen Stellen“ überwinden. Beispiele sind der Logarithmus mit einem Pol bei 0 und die Quadratwurzelfunktion mit einem Pol der Ableitung bei 0. Für p = 1 ergibt sich hier r ≤ 1, für p = 2 ist r ≤ 2 usw.

(3)	Dass die Taylor-Reihe des Arkustangens für p = 0 den überraschend kleinen Konvergenzradius r = 1 besitzt, wird erst in der komplexen Analysis klar. Dort weist der Arkustangens eine Polstelle bei i auf, sodass r ≤ \|i − 0\| = 1.