Uneigentliche Integrale

Bisher sind unsere Integrale auf Intervalle [ a, b ] beschränkt. Wir betrachten nun auch Integrationsintervalle der Form ] −∞, b ], [ a, ∞ [ und ] −∞, ∞ [.

Uneigentliche Integrale

(1)	Für eine Funktion f mit einem unbeschränkten Definitionsintervall setzen wir im Fall der Existenz: ∫^∞_a f = lim_b → ∞ ∫^b_a f, ∫^b_−∞ f = lim_{a → −∞} ∫^b_a f und weiter ∫^∞_−∞ f = ∫^∞₀ f + ∫⁰_−∞ f.

(2)

Ähnlich behandeln wir halboffene und offene Definitionsbereiche, wie sie zum Beispiel bei Polstellen auftreten. Ist f : [ a, b [ → ℝ, so setzen wir im Fall der Existenz

∫^b_a f = lim_c↑ b ∫^c_a f.

Analog wird das uneigentliche Integral für f : ] a, b ] → ℝ erklärt. Durch Wahl einer Zwischenstelle s  ∈  ] a, b [ erhalten wir schließlich ein uneigentliches Integral für Funktionen der Form f : ] a, b [ → ℝ:

∫^b_a f = ∫^s_a f + ∫^b_s f.

In allen Fällen gilt: Ein Integral von a bis b ist nur dann erklärt, wenn f auf jedem inneren Teilintervall [ c, d ] von ] a, b [ definiert ist. Das Integral lässt sich noch einmal erweitern, um zum Beispiel auch über Polstellen hinweg integrieren zu können. Wir begnügen uns hier mit den betrachteten Fällen.

Beispiel

Wir verwenden die Stammfunktion x (log(x) − 1) des Logarithmus log (im nächsten Kapitel werden wir sehen, wie wir sie finden können). Damit gilt:

∫¹₀ log  x dx	= lim_a ↓ 0 ∫¹_a log x dx
	= lim_a → 0 ${[x (log (x) - 1)]}_{x = a}^{x = 1}$
	= −1 − lim_a → 0 a (log(a) − 1) = −1 − 0 = −1

Der Logarithmus schließt im Intervall ] 0, 1 ] mit der x-Achse eine unbeschränkte Fläche mit einem endlichen (negativen) Flächeninhalt ein. Er berechnet sich zu −1.