Unbestimmte Integrale

Notation

Sei f : [ a, b ] → ℝ integrierbar und f besitze eine Stammfunktion F : [ a, b ] → ℝ. Dann schreiben wir

∫ f = ∫ f (x) dx = I(f) = „irgendeine Stammfunktion von f“.

Wir nennen I(f) auch das unbestimmte Integral von f. Allgemeiner lassen wir beliebige Intervalle als Definitionsbereich von f zu, sofern die Funktion f (wie bei der uneigentlichen Integrierbarkeit) auf jedem Teilintervall [ a, b ] ihres Definitionsbereichs integrierbar ist.

Bemerkung

Eine Stammfunktion ist nur bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt. Die Notation ist für mathematische Verhältnisse recht schludrig. Das Gleiche gilt für die „+ c“-Variante. Formal korrekt müssten wir

I(f) = { F | F ist eine Stammfunktion von f }

setzen oder anstelle der Gleichheit mit einer Äquivalenzschreibweise F ∼ G arbeiten, die bedeutet, dass F − G eine konstante Funktion ist. Die Notation führt aber in der Regel nicht zu Fehlern. Bei der Auswertung „obere Grenze minus untere Grenze“ spielt die Konstante keine Rolle.

Nach Definition gilt

(∫ f)′ = f, ∫ f ′ = f, d.h. D(I(f)) = f = I(D(f)).

Mit dem Hauptsatz erhalten wir für alle [ a, b ] ⊆ Def (f):

∫^b_a f (x) dx = ${(\int f (x) dx)|}_{x = a}^{x = b}$ = ${(\int f)|}_{a}^{b}$ = F(b) − F(a) mit F′ = f.

Beispiele

(1)	∫ 1 dx = x, ∫ 1 dx = x + c für alle c  ∈  ℝ.

(2)	∫sin(x) dx = − cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x)

(3)	∫1/x dx = log(x) auf ] 0, ∞ [ , ∫ 1/x dx = log(−x) auf ] −∞, 0 [. Dies lässt sich zusammenfassen in der Form ∫ 1/x dx = log(\|x\|) für Definitionsintervalle ohne 0. In Zweifelsfällen geben wir das Definitionsintervall an.