Lösungen zu den Übungen

Übung 1

Bestimmen Sie durch Partialbruchzerlegung:

(a)	∫ ^−x + 2_{x (x + 1)(x + 2)} dx

(b)	∫ ^{x² + x + 4}_{(x + 1) (x² + 1)} dx (Ansatz: ^{x² + x + 4}_{(x + 1) (x² + 1)} = ^a_x + 1 + ^bx + c_x² + 1)

Lösung zur Übung 1

zu (a):

Für alle a, b, c  ∈  ℝ gilt:

^a_x + ^b_x + 1 + ^c_x + 2 = ^{a(x + 1)(x + 2) + b x (x + 2) + c x (x + 1)}_{x(x + 1)(x + 2)}.

Der Zähler auf der rechten Seite berechnet sich zu

(a + b + c)x² + (3a + 2b + c)x + 2a

Ein Koeffizientenvergleich mit 0x² − x + 2 liefert

a + b + c = 0, 3a + 2b + c = −1, 2a = 2.

Dieses Gleichungssystem in a, b, c hat die eindeutige Lösung

a = 1, b = −3, c = 2.

Es ergibt sich also die Partialbruchzerlegung

^−x + 2_{x (x + 1)(x + 2)} = ¹_x − ³_x + 1 + ²_x + 2.

Wir erhalten:

∫ ^−x + 2_{x (x + 1)(x + 2)} dx	= ∫ ¹_x dx − ∫ ³_x + 1 dx + ∫ ²_x + 2 dx
	= log(\|x\|) − 3 log(\|1 + x\|) + 2 log(\|x + 2\|)

zu (b):

Für alle a, b, c  ∈  ℝ gilt:

^a_x + 1 + ^bx + c_x² + 1 = ^{a(x² + 1) + (bx + c)(x + 1)}_{(x + 1) (x² + 1)}.

Der Zähler auf der rechten Seite berechnet sich zu

(a + b)x² + (b + c)x + a + c

Ein Koeffizientenvergleich mit x² + x + 4 liefert

a + b = 1, b + c = 1, a + c = 4.

Dieses Gleichungssystem in a, b, c hat die eindeutige Lösung

a = 2, b = −1, c = 2.

Es ergibt sich also die Partialbruchzerlegung

^{x² + x + 4}_{(x + 1) (x² + 1)} = ²_x + 1 + ^−x + 2_x² + 1

Damit erhalten wir:

∫ ^{x² + x + 4}_{(x + 1) (x² + 1)} dx	= ∫ ²_x + 1 + ^−x + 2_x² + 1 dx
	= ∫ ²_x + 1 dx − ∫^x_1 + x² dx + ∫ ²_1 + x² dx
	= ∫ ²_x + 1 dx − ¹₂∫^2x_1 + x² dx + ∫ ²_1 + x² dx
	= 2 log(\|1 + x\|) − ¹₂ log(x² + 1) + 2 arctan(x).

Übung 2

Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln:

(a)	∫ ^log(x)_x dx

(b)	∫ x log(x) dx

(c)	∫ log²(x) dx

(d)	∫ $\sqrt{x}$ log(x) dx

Lösung zur Übung 2

zu (a):

Nach der Substitutionsregel gilt mit t = log(x), dt = 1/x · dx:

∫ ^log(x)_x dx = ∫ t dt = ^t²₂ = ^log²(x)₂

Alternativ können wir partielle Integration verwenden:

∫ ^log(x)_x dx = ∫ log(x) ^d_dx log(x) dx = log²(x) − ∫ ^log(x)_x dx

Addition des Integrals auf beiden Seiten und Division durch 2 liefert erneut log²(x)/2 als Stammfunktion.

zu (b):

Wir verwenden partielle Integration:

∫ x log(x) dx	= ∫ (^d_dx^x²₂) log(x) dx
	= ^{x² log(x)}₂ − ∫ ^x²₂ ¹_x dx
	= ^{x² log(x)}₂ − ∫ ^x₂ dx
	= ^{x² log(x)}₂ − ^x²₄
	= ^x²₂ (log(x) − ¹₂)

zu (c):

Wir verwenden partielle Integration sowie das bereits berechnete unbestimmte Integral x (log(x) − 1) von log(x):

∫ log²(x) dx	= ∫ 1 log²(x) dx
	= x log²(x) − ∫ 2 x log(x) ¹_x dx
	= x log²(x) − 2 ∫ log(x) dx
	= x log²(x) − 2 x (log(x) − 1)

zu (d):

Wir verwenden partielle Integration:

∫ $\sqrt{x}$ log(x) dx	= ∫ (^d_dx ²₃ x^3/2 ) log(x) dx
	= ²₃ x^3/2 log(x) − ∫ ²₃ x^3/2 ¹_x dx
	= ²₃ x^3/2 log(x) − ²₃ ∫ x^1/2 dx
	= ²₃ x^3/2 log(x) − ²₃ ²₃ x^3/2
	= ²₉ x^3/2 (3 log(x) − 2)

Übung 3

Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln:

(a)	∫ x $\sqrt{1 - x^{2}}$ dx

(b)	∫ $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ dx

(c)	∫ $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ dx

Lösung zur Übung 3

zu (a):

Wir verwenden die Substitution

t = 1 − x², dt = − 2xdx

Damit erhalten wir (mit x dx = − dt/2):

∫ x $\sqrt{1 - x^{2}}$ dx	= − ¹₂ ∫ $\sqrt{t}$ dt
	= − ¹₂ ²₃ t^3/2 = − ¹₃ (1 − x²)^3/2.

zu (b):

Wir wissen nach den Ableitungsregeln, dass

^d_dxarcsin(x) = $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Ohne Kenntnis dieser Ableitung können wir die Substitution

x = sin(t), dx = cos(t) dt, t = arcsin(x) für x  ∈  ] −1, 1 [ , t  ∈  ] −π/2, π/2 [

verwenden:

∫ $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ dx	= ∫ $\frac{1}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (t)}}$ cos(t) dt
	= ∫ ^cos(t)_\|cos(t)\| dt
	= ∫ 1 dt = t = arcsin(x).

Dabei verwenden wir, dass cos(t) > 0 für alle t  ∈  ] −π/2, π/2 [ , sodass wir die Beträge nach dem Wurzelziehen weglassen können.

Die Funktion f : ] −1, 1 [ → ℝ mit f (x) = $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Die Funktion g : ] −π/2, π/2 [ → ℝ mit g(t) = f (s(t))s′(t) mit der Substitution s : ] −π/2, π/2 [ → ] −1, 1 [ mit s(t) = sin(t). Es gilt g(t) = 1 für alle t.

zu (c):

Wir verwenden die Substitution

t = x², dt = 2x dx

Damit erhalten wir unter Verwendung des Integrals in (b):

∫ $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ dx	= ¹₂ ∫ $\frac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}}$
	= ¹₂ arcsin(t) = ¹₂ arcsin(x²).

Übung 4

Seien a, b  ∈  ℝ mit b > 0. Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln:

∫^{1 − a e^x}_{1 + b e^x} dx

Lösung zur Übung 4

Wir verwenden die Substitutionen

t = e^x, dt = e^x dx, dx = ^dt_t,

u = 1 + b e^x, du = b e^x dx, e^x dx = ^du_b

Weiter benutzen wir die Partialbruchzerlegung

¹_{t (1 + b t)} = ¹_t − ^b_1 + b t.

Damit erhalten wir:

∫^{1 − a e^x}_{1 + b e^x} dx	= ∫¹_{1 + b e^x} dx − a ∫¹_{1 + b e^x} e^x dx
	= ∫¹_{t (1 + bt)} dt − ^a_b ∫¹_u du
	= ∫ ¹_t dt − ∫^b_1 + bt dt − ^a_b ∫¹_u du
	= log(t) − log(1 + bt) − ^a_b log(u)
	= log(e^x) − log(1 + b e^x) − ^a_b log(1 + b e^x)
	= x − log(1 + b e^x) (1 + ^a_b)
	= x − ^a + b_b log(1 + b e^x)