Vektoren im ℝn
Definition (n-dimensionaler reeller Vektor, Vektorraum ℝn)
Sei n ≥ 1. Dann setzen wir
ℝn = { (v1, …, vn) | v1, …, vn ∈ ℝ } [ gelesen: ℝ hoch n ].
Die Elemente des ℝn heißen n-dimensionale reelle Vektoren oder reelle Vektoren der Länge oder Dimension n. Ist v = (v1, …, vn) ∈ ℝn, so heißen die reellen Zahlen v1, …, vn die Komponenten oder Einträge des Vektors v.
Beispiele
(1) | (0, 1), (4, −1), (8, 8) sind Vektoren des Vektorraums ℝ2. |
(2) | (1, 2, 3), (−1, 0, 0), (1, 1, 1) sind Vektoren des Vektorraums ℝ3. |
(3) | Sei v = (2, 0, 1, 5) ∈ ℝ4. Der Vektor v hat die Dimension 4. Seine dritte Komponente ist 1. |
Anschauliche Interpretation und Repräsentanten
Für die Dimensionen n = 2 und n = 3 können wir Vektoren sowohl durch Punkte als auch durch Pfeile darstellen. Die Darstellung als Pfeil kommt der Vorstellung eines Vektors als „gerichteter Größe“ besonders entgegen. Der Vektor v wird dargestellt durch einen Pfeil, der vom Ursprung zum Punkt v führt. Weiter nennen wir jeden Pfeil der Ebene oder des Raumes, der aus diesem Pfeil durch eine Parallelverschiebung hervorgeht, einen Repräsentanten des Vektors v. Oft ist es nützlich, zwischen Vektoren und ihren Repräsentanten nicht zu unterscheiden. Ist v = (1, 2) , so können wir in einem Diagramm zum Beispiel auch den Pfeil von (2, 1) nach (3, 3) mit v bezeichnen. Analoges gilt für den Pfeil von (−1, −1) nach (0, 1) und allgemein für den Pfeil von einem Punkt (x, y) zum Punkt (x + 1, y + 2).
Notationen
(1) | Wir notieren Vektoren ohne Pfeile oder Striche (also einfach v statt v). |
(2) | Bevorzugt verwenden wir die Zeichen v, w, u für Vektoren. Ist v ein Vektor, so ist v1 seine erste Komponente, v2 seine zweite usw. Damit gilt für eine gegebene Dimension n und v, w, u ∈ ℝn automatisch v = (v1, …, vn), w = (w1, …, wn), u = (u1, …, un). Hat ein Vektor bereits einen Index, so verwenden wir Kommata. Für v1, …, vk ∈ ℝn gilt also vi = (vi,1, …, vi,n) für alle i = 1, …, k. |
(3) | Vektoren des ℝ2 und ℝ3 notieren wir auch in der Form v = (x, y) bzw. v = (x, y, z), alternativ zu v = (v1, v2) bzw. v = (v1, v2, v3). |
(4) | Den Raum ℝ1 identifizieren wir mit ℝ, sodass zum Beispiel (4) = 4. |
Zur Vereinfachung der Sprechweise vereinbaren wir noch:
Konvention
Im Folgenden bezeichnet n immer eine beliebige feste Dimension größer oder gleich 1, wenn nichts anderes gesagt ist.
Damit können wir zum Beispiel kurz
„Für alle v ∈ ℝn gilt …“
schreiben statt ausführlich
„Sei n ≥ 1. Dann gilt für alle v ∈ ℝn …“
Drei Vektoren v, w, u der Euklidischen Ebene ℝ2, visualisiert als im Nullpunkt beginnende Pfeile. Gezeigt sich weiter verschiedene Repräsentanten dieser Vektoren.