Spezielle Vektoren
Wir betrachten einige besonders ausgezeichnete Vektoren.
Definition (Nullvektor)
Der Vektor 0 = (0, …, 0) ∈ ℝn heißt der Nullvektor oder Nullpunkt des ℝn.
Zur Verdeutlichung können wir auch 0 für den Nullvektor schreiben, um den Vektor von der reellen Zahl 0 zu unterscheiden. In der Regel ist aber aus dem Kontext heraus klar, ob wir mit der 0 einen Vektor oder eine Zahl bezeichnen.
Eine wichtige Rolle spielen:
Definition (kanonische Einheitsvektoren)
Die Vektoren
e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …, en = (0, …, 0, 1)
heißen die kanonischen Einheitsvektoren oder die kanonischen Basisvektoren des ℝn.
Die kanonischen Basisvektoren haben genau eine 1-Komponente und ansonsten nur Nulleinträge. Im ℝ3 gilt zum Beispiel e1 = (e1,1, e1,2, e1,3) = (1, 0, 0) mit den Komponenten e1,1 = 1 und e1,k = 0 für k ≠ 1.
Anschauliche Interpretation
(1) | Für die Dimensionen n = 2 und n = 3 ist der Nullvektor anschaulich der Koordinatenursprung der Ebene ℝ2 bzw. des Raumes ℝ3. Dieser Vektor hat im Gegensatz zu allen anderen Vektoren keine anschauliche Richtung und wir zeichnen ihn als Punkt und nicht als Pfeil. |
(2) | Die Einheitsvektoren liegen auf den Koordinatenachsen und zeigen vom Ursprung zur 1 auf diesen Achsen. |
(3) | Im ℝ2 ist jedes Punktpaar ((x, y), (x + 1, y)) ist ein Repräsentant von e1. Analog repräsentiert jedes Paar ((x, y), (x, y + 1)) den Vektor e2. |
Die kanonischen Einheitsvektoren e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) der Ebene und einige Repräsentanten.