Die Vektoraddition

 Vektoren lassen sich in natürlicher Weise addieren und subtrahieren:

Definition (Vektoraddition, additives Inverses, Vektorsubtraktion)

Wir setzen für alle v, w  ∈  ℝn:

v + w  =  (v1 + w1, …, vn + wn)(Vektoraddition)

−v  =  (− v1, …, − vn)(Inversenbildung)

v − w  =  v  +  (−w)  =  (v1 − w1, …, vn − wn)(Vektorsubtraktion)

Beispiele

(1, 2, 3)  +  (1, 2, −1)  =  (2, 4, 2)

(1, 2, 3)  −  (1, 2, −1)  =  (0, 0, 4)

e1 + e2 + e3  =  (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1)  =  (1, 1, 1)

Anschauliche Interpretation für n = 2 und n = 3

(1)

Die Vektoraddition entspricht dem Aneinanderfügen zweier Pfeile. Der Vektor v + w ist eine Diagonale des von v und w gebildeten (möglicherweise degenerierten) Parallelogramms.

(2)

Das Inverse −v eines Vektors v erhalten wir durch die Spiegelung von v am Nullpunkt.

(3)

Der Vektor v − w wird repräsentiert durch einen Pfeil von der Spitze von w zur Spitze von v (da v − w = v + (−w)). In dieser Lesart ist „v − w“ also „hin zu v ausgehend von w“ oder kurz „von w nach v“. Der zweite Vektor gibt den Startpunkt vor, der erste das Ziel.

 Wichtige Rechenregeln sind:

Satz (Eigenschaften der Vektoraddition)

Für alle v, w, u  ∈  ℝn gilt:

v  +  (w  +  u)  =  (v  +  w)  +  u(Assoziativität)

v  +  0  =  0  +  v  =  v(Neutralität des Nullvektors)

v  +  (− v)  =  (− v)  +  v  =  0(additive Inverse)

v  +  w  =  w  +  v(Kommutativität)

 Aufgrund der Assoziativität der Addition können wir wie üblich Klammern in additiven Termen weglassen.