Die Euklidische Norm

Der Satz des Pythagoras motiviert:

Definition (Euklidische Norm, Länge, normiert)

Wir setzen für alle v  ∈  ℝⁿ:

∥ v ∥ = $\sqrt{v_{1}^{2} + … + v_{n}^{2}}$ [ gelsen: Norm von v ]

Die reelle Zahl ∥v∥ heißt die Euklidische Norm oder Länge des Vektors v. Ein Vektor v heißt normiert, falls ∥v∥ = 1.

Der Doppelstrich wird verwendet, um die Norm eines Vektors vom Betrag einer Zahl zu unterscheiden. Im ℝ¹ ist ∥v∥ = |v|.

Die Euklidische Länge

∥v∥ = $\sqrt{{|v}_{1} |^{2} + {|v}_{2} |^{2}}$ = $\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}$

eines Vektors v = (v₁, v₂) der Ebene ℝ². Die Punkte 0, v, (v₁, 0) bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen |v₂|, |v₁|, ∥v∥.

Quadrate vermeiden Wurzeln

Für jeden Vektor v  ∈  ℝⁿ gilt

∥v∥² = v₁² + … + v_n².

Es ist in vielen Fällen günstig, zunächst das Quadrat einer Norm zu berechnen und erst am Ende die Wurzel zu ziehen.

Quadratwurzeln in jeder Dimension

In jeder Dimension n ≥ 1 wird die Quadratwurzel und nicht etwa die n-te Wurzel verwendet. Für n = 1 gilt ∥v∥ = $\sqrt{v^{2}}$ = |v|. Zur Illustration betrachten wir einen Einheitswürfel im ℝ³ mit den gegenüberliegenden Ecken 0 = (0, 0, 0) und (1, 1, 1). Nach dem Satz des Pythagoras berechnet sich die Länge der Strecke von (0, 0, 0) nach (1, 1, 0) in der x-y-Ebene zu

$\sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{2}$ .

Erneut nach Pythagoras hat die Strecke von (0, 0, 0) nach (1, 1, 1) die Länge

$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{2 + 1}$ = $\sqrt{3}$ .

Hier wird überall die Quadratwurzel verwendet, nicht die dritte Wurzel.

Beispiele

(1)	∥ (3, 4) ∥ = $\sqrt{9 + 16}$ = $\sqrt{25}$ = 5

(2)	∥ (0, 0, 1, 0, 0) ∥ = $\sqrt{0 + 0 + 1 + 0 + 0}$ = $\sqrt{1}$ = 1

(3)	Für alle α  ∈  ℝ ist (cos α, sin α)  ∈  ℝ² ein Punkt auf dem Einheitskreis und damit ein normierter Vektor.

Die folgenden Eigenschaften sind leicht nachzuweisen:

Satz (Eigenschaften der Euklidischen Norm)

Für alle λ  ∈  ℝ und alle v  ∈  ℝⁿ gilt:

(a)	∥v∥ = 0 genau dann, wenn v = 0

(b)	∥ λ v ∥ = \|λ\| ∥v∥