Die Dreiecksungleichung

Nicht mehr so leicht zu zeigen ist:

Satz (Dreiecksungleichung)

Für alle v, w  ∈  ℝⁿ gilt:

∥ v + w ∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥(Dreiecksungleichung)

Anschauliche Interpretation

In den Dimensionen n = 2 und n = 3 ist die Ungleichung einleuchtend, da die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Gerade ist.

Beweis

Wir zeigen zunächst die folgende Hilfsaussage:

(+) 2 x y ≤ x² + y² für alle x, y  ∈  ℝ.

Beweis von (+)

Seien x, y  ∈  ℝ beliebig. Dann gilt 0 ≤ (x − y)² = x² − 2xy + y². Durch Addition von 2xy auf beiden Seiten ergibt sich die Behauptung.

Seien nun v, w  ∈  ℝⁿ beliebig. Dann ergibt eine n-fache Anwendung von (+):

2 (v₁ w₁ + … + v_n w_n)	= 2 v₁ w₁ + … + 2 v_n w_n
	≤ v₁² + w₁² + … + v_n² + w_n² = ∥ v ∥² + ∥ w ∥².

Die Dreiecksungleichung ist klar für v = 0 oder w = 0. Wir nehmen also an, dass v, w ≠ 0. Wir setzen v̂ = ∥v∥⁻¹ v, ŵ = ∥w∥⁻¹ w. Dann sind v̂ und ŵ normiert. Nach dem bereits Gezeigten gilt

2 (v̂₁ ŵ₁ + … + v̂_n ŵ_n) ≤ ∥ v̂ ∥² + ∥ ŵ ∥² = 1 + 1 = 2.

Eine Division durch 2 und die Multiplikation mit ∥v∥ ∥w∥ liefert:

(◇) v₁ w₁ + … + v_n w_n ≤ ∥v∥ ∥w∥.

Damit erhalten wir nun:

∥ v + w ∥²	= ∥ (v₁ + w₁, …, v_n + w_n) ∥²
	= (v₁ + w₁)² + … + (v_n + w_n)²
	= ∥v∥² + ∥w∥² + 2(v₁ w₁ + … + v_n w_n)
	≤ ∥v∥² + ∥w∥² + 2 ∥v∥ ∥w∥ = (∥v∥ + ∥w∥)².

Durch Wurzelziehen erhalten wir die Dreiecksungleichung.