Der Euklidische Abstand

Mit Hilfe der Norm können wir den Abstand zweier Punkte einführen:

Wir setzen für alle v, w  ∈  ℝⁿ:

d(v, w) = ∥ v − w ∥

Die reelle Zahl d(v, w) heißt der Euklidische Abstand von v und w.

Das „d“ steht hier für für „Distanz“ oder „distance“. Nach Definition gilt für alle n ≥ 1 und alle v, w  ∈  ℝⁿ:

d(v, 0) = ∥v∥, d(v, w) = $\sqrt{(v_{1} - w_{1})^{2} + … + (v_{n} - w_{n})^{2}}$

Weiter gilt:

Für alle v, w, u  ∈  ℝⁿ gilt:

(a)	d(v, w) = 0 genau dann, wenn v = w

(b)	d(v, w) = d(w, v)(Symmetrie)

(c)	d(v, u) ≤ d(v, w) + d(w, u)(Dreiecksungleichung)

Seien v, w, u  ∈  ℝⁿ beliebig.

zu (a): Es gilt die folgende Äquivalenzenkette:

d(v, w) = 0	genau dann, wenn ∥ v − w ∥ = 0
	genau dann, wenn v − w = 0 genau dann, wenn v = w.

zu (b): Es gilt

d(v, w) = ∥ v − w ∥ = ∥ w − v ∥ = d(w, v).

zu (c): Nach der Dreiecksungleichung für die Norm gilt