Die Ungleichung von Cauchy-Schwarz
Zwischen dem Skalarprodukt und der Norm besteht folgende sehr wichtige Ungleichung:
Satz (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)
Für alle v, w ∈ ℝn gilt:
|〈 v, w 〉| ≤ ∥v∥ ∥w∥.
Etwas salopp:
Cauchy-Schwarz
Der Betrag des Skalarprodukts ist kleinergleich dem Produkt der Normen.
Beweis
Seien v, w ∈ ℝn beliebig. Im Beweis der Dreiecksungleichung haben wir gezeigt:
(◇) 〈 v, w 〉 = v1 w1 + … + vn wn ≤ ∥v∥ ∥w∥.
Dies zeigt die Ungleichung im Fall 〈 v, w 〉 ≥ 0. Ist 〈 v, w 〉 < 0, so gilt
〈 −v, w 〉 = − 〈 v, w 〉 > 0.
Nach dem bereits Gezeigten gilt
|〈 v, w 〉| = 〈 −v, w 〉 ≤ ∥ −v ∥ ∥w∥ = ∥v∥ ∥w∥.
Eine anschauliche Interpretation des Skalarprodukts für die Dimensionen n = 2 und n = 3 diskutieren wir im nächsten Kapitel. Dadurch wird auch die Ungleichung von Cauchy-Schwarz einleuchtend.
Für Vektoren v, w ≠ 0, so können wir die Ungleichung auch so formulieren:
|〈 v, w 〉∥v∥ ∥w∥| ≤ 1.
Gewinnung der Dreiecksungleichung aus Cauchy-Schwarz
Ist die Ungleichung von Cauchy-Schwarz einmal gezeigt, so ergibt sich die Dreiecksungleichung wie folgt: Für alle v, w ∈ ℝn gilt
| ∥ v + w ∥2 | = ∥v∥2 + ∥w∥2 + 2 〈 v, w 〉 ≤ ∥v∥2 + ∥w∥2 + 2 |〈 v, w 〉| |
| ≤ ∥v∥2 + ∥w∥2 + 2 ∥v∥ ∥w∥ | |
| ≤ (∥v∥ + ∥w∥)2 |
Durch Wurzelziehen ergibt sich die Dreiecksungleichung für v und w.