Der Kosinussatz

 Wir haben das Skalarprodukt zweier Vektoren des ℝn algebraisch als Summe der Produkte der Komponenten eingeführt. Für die Ebene ℝ2 gilt:

〈 v, w 〉  =  x1 x2  +  y1 y2  für alle v = (x1, y1), w = (x2, y2)  ∈  ℝ2.

Um diese Größe geometrisch zu interpretieren, ist folgende Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras hilfreich:

Satz (Kosinussatz)

In einem Dreieck ABC mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gilt:

a2  =  b2  +  c2  −  2 cos(α) b c.(Kosinussatz)

Beweis

Wir betrachten zuerst den Fall α < π/2 mit einem spitzen Winkel bei der Ecke A. Dann zerlegt die Höhe des Dreiecks ABC bei C die Strecke AB in zwei Strecken der Längen c1 und c2. Es gilt c1 + c2 = c.

hm1-AbbIDcas_satz_1

Nach dem Satz des Pythagoras gilt b2 = c12 + h2, a2 = c22 + h2, sodass

b2 − c12  =  h2  =  a2 − c22  =  a2 − (c − c1)2  =  a2 − c2 + 2cc1 − c12.

Mit c1 = b cos(α) erhalten wir den Kosinussatz:

a2  =  b2 + c2 − 2c c1  =  b2 + c2  −  2cos(α) b c.

Im Fall α = π/2 und cos(α) = 0 geht der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras über. Der Fall α > π/2 wird ähnlich bewiesen (Übung).