Die Winkelformel
Definition (eingeschlossener Winkel)
Seien v, w ∈ ℝ2 mit v, w ≠ 0. Dann setzen wir
∡(v, w) = „der von v und w eingeschlossene Winkel in [ 0, π ]“.
Der Winkel ∡(v, w) hat keine Orientierung. Es gilt ∡(v, w) = ∡(w, v).
Mit Hilfe des Skalarprodukts können wir den eingeschlossenen Winkel zweier Vektoren überraschend einfach berechnen. Nützlich hierzu ist:
Definition (Normierung)
Für alle v ∈ ℝn mit v ≠ 0 setzen wir v̂ = ∥v∥−1 v. Ist v = 0, so setzen wir v̂ = 0. Der Vektor v̂ [ gelesen: v Hut oder v Dach ] heißt die Normierung von v. Analog wird v̂ für v ∈ ℂn definiert.
Es gilt ∥ v̂ ∥ = 1 = 〈 v̂, v̂ 〉 für alle v ≠ 0. Ist w = λ v mit λ > 0, so gilt ŵ = v̂. Ist λ < 0, so gilt ŵ = − v̂. Für die Dimension n = 2 gilt: Die Hut-Operation bildet einen Vektor unter Wahrung seiner Richtung auf den Einheitskreis ab. Der Nullpunkt bleibt unbewegt.
Die Normierung eines von Null verschiedenen Vektors projiziert den
Vektor (unter Wahrung seiner Richtung) auf den Einheitskeis K1.
Satz (Winkelformel)
Seien v, w ∈ ℝ2 von 0 verschieden, und sei φ = ∡(v, w). Dann gilt:
cos(φ) = 〈 v̂, ŵ 〉 = 〈 v, w 〉∥v∥ ∥w∥ ∈ [ −1, 1 ], φ = arccos(〈 v̂, ŵ 〉)(Winkelformel)
Beweis
Wir betrachten das Dreieck mit den Ecken A = 0, B = w und C = v, sodass:
(+) a = ∥ v − w ∥, b = ∥v∥, c = ∥w∥, α = ∡(v, w) = φ
Das aus den Vektoren v und w gebildetete Dreieck. Die Winkelformel ergibt sich durch Kombination des Kosinussatzes und der binomischen Formel für das Skalarprodukt.
Nach dem Kosinussatz gilt
a2 = b2 + c2 − 2 cos(α) b c.
Nach (+) gilt also
∥ v − w ∥2 = ∥v∥2 + ∥w∥2 − 2 cos(φ) ∥v∥ ∥w∥.
Die zweite binomische Formel für das Skalarprodukt liefert
∥ v − w ∥2 = ∥v∥2 + ∥w∥2 − 2 〈 v, w 〉.
Damit erhalten wir wie gewünscht, dass
cos(φ) ∥ v ∥ ∥ w ∥ = 〈 v, w 〉.
Die Winkelformel ermöglicht einen neuen Beweis der Ungleichung von Cauchy-Schwarz:
Satz (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)
Seien v, w ∈ ℝ2. Dann gilt:
|〈 v, w 〉| ≤ ∥v∥ ∥w∥
Gleichheit gilt genau dann, wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist.
Beweis
Die Ungleichung ist klar im Fall v = 0 oder w = 0 (mit 0 ≤ 0).
Seien also v, w ≠ 0. Dann gilt
cos(φ) 〈 v, w 〉 ≤ ∥ v ∥ ∥ w ∥, wobei φ = ∡(v, w).
Mit |cos(φ) | ≤ 1 erhalten wir
| 〈 v, w 〉 | ≤ ∥ v ∥ ∥ w ∥.
Es gilt | cos φ | = 1 genau dann, wenn φ = 0 oder φ = π. Hieraus ergibt sich der Zusatz. Gleichheit gilt zudem für v = 0 = 0 w oder w = 0 = 0 v.